Grupa generovaná Pauliho maticemi

Úkol: Zkonstruujte multiplikativní grupu {\bb P}, která je generována prvky $ i\sigma^x,\allowbreak i\sigma^y,\allowbreak i\sigma^z$, kde $ i^2=-1$ a% latex2html id marker 67650
\setcounter{footnote}{3}\fnsymbol{footnote}

$\displaystyle (\sigma^x)^2=(\sigma^y)^2=(\sigma^z)^2=1, \quad \sigma^x\sigma^y=i\sigma^z=-\sigma^y\sigma^x.$ (7)

Grupa generovaná danými prvky je nejmenší grupa, která je obsahuje, tj. množina součinů libovolného počtu těchto prvků (a prvků k nim inverzních) v libovolném pořadí. Nalezněte řád této grupy, třídy konjugovaných prvků a jejich řády. Srovnejte s grupou {\bb D}$ _4$ symetrií čtverce a ukažte, že nejsou izomorfní navzdory stejnému řádu grupy.

Rada: zkuste chápat $ i\sigma^{x,y,z}$ jako abstraktní algebraické objekty, o kterých víme pouze to, že splňují vztahy 7. Přemýšlejte, jak by se daly realizovat třeba jako matice.


Řešení: Uvedená grupa generovaná $ i\sigma^x,i\sigma^y,i\sigma^z$ obsahuje osm prvků:

{\bb P}$\displaystyle =\{\pm 1,\pm i\sigma^x,\pm i\sigma^y,\pm i\sigma^z\}.$ (8)

Kromě identického prvku a generátorů musíme do grupy zahrnout i $ (i\sigma^x)^2=-1$, jakož i inverzní prvky ke generátorům $ (i\sigma^j)^{-1}=-i\sigma^j$, kde $ j=x,y,z$. Postupným pronásobováním ověříte, že (8) je uzavřena na násobení, například $ i\sigma^x\cdot i\sigma^y=-i\sigma^z$. Řád grupy je tedy osm.

Co se týče tříd konjugovaných prvků, neutrální prvek $ 1$ má vždycky svoji vlastní třídu, jak jsme řekli; řád prvku $ 1$ je samozřejmě $ 1$. Stejně tak prvek $ -1$ má svoji třídu, protože i ten komutuje se všemi prvky grupy; jeho řád je $ 2$, neboť $ (-1)^2=1$. Lze ověřit, že pro všechna $ g,h\in${\bb P} je $ ghg^{-1}=\pm h$, tudíž $ i\sigma^x$ a $ i\sigma^y$ nemohou být konjugované. Naopak $ i\sigma^x\sim -i\sigma^x$ (a podobně pro $ y,z$), jelikož například

$\displaystyle (i\sigma^y)(i\sigma^x) (i\sigma^y)^{-1}=(i\sigma^y)(i\sigma^z)=-i\sigma^x.$ (9)

Tudíž máme pět různých tříd:

$\displaystyle \{\{1\},\{-1\}, \{i\sigma^x,-i\sigma^x\},\{i\sigma^y,-i\sigma^y\}, \{i\sigma^z,-i\sigma^z\}\}$ (10)

Řád každého z šesti prvků $ (\pm
i\sigma^j)$ je roven čtyřem, zatímco v grupě {\bb D}$ _4$ máme jen dva prvky řádu 4 (rotace o  $ \pm 90^{\circ}$), tudíž tyto grupy nemohou být izomorfní. Shodný řád je nutnou, nikoliv postačující, podmínkou pro izomorfnost.

Pro zajímavost uveďme, že grupu {\bb P} lze reprezentovat pomocí Pauliho matic $ 2\times 2$, které najdete jako vzorec 29 v příkladu 6.1. Tato reprezentace je ireducibilní.

$ \ast$LM$ \ast$