Transformace složek formy při změně báze

Úkol: $ \omega$ je lineární forma na {\bb R}$ _2$, $ \omega(\vec{x})=x_1+2x_2$ pro $ \vec{x}=(x_1,x_2)^T$ v bázi $ M = {(1,1),(1,-1)}$. Najděte souřadnice $ \omega_{N^*}$ této formy v bázi $ N^*$, která je duální k  $ N = \{(1,-2),(3,2)\}$.


Řešení: Lineární formu $ \omega$ převedeme do báze duální ke kanonické bázi, tedy zjistíme, jak forma působí na vektor $ \vec{x}$ v kanonické bázi. Má-li $ \vec{x}$ v bázi $ M$ složky $ (x_1^M,x_2^M)^T$, pak je $ \vec{x}=x_1^M(1,1)^T+x_2^M(1,-1)=(x_1^M+x_2^M,x_1^M-x_2^M)$ a složky v kanonické bázi jsou tedy

$\displaystyle x_1^K = x_1^M + x_2^M\,,\qquad x_2^K = x_1^M - x_2^M\,.$

Z toho úpravou vyjádříme $ x_1^M = \textstyle\frac{1}{2}(x_1^K+x_2^K)$ a $ x_2^M =
\textstyle\frac{1}{2}(x_1^K - x_2^K)$, takže

$\displaystyle \omega(\vec{x}) =x_1^M+x_2^M=\frac{3}{2}x_1^K - \frac{1}{2}x_2^K\,.$ (93)

Dále už jen určíme, jak působí $ \omega$ na vektor $ \vec{x}$ zapsaný pomocí složek v bázi $ N$: z  $ \vec{x}=x_1^N(1,-2)^T+x_2^N(3,2)$ vyčteme $ x_1^K = x_1^N + 3x_2^N$ a $ x_2^K = -2x_1^N + 2x_2^N$. Dosadíme-li do (93), dostaneme

$\displaystyle \omega = \frac{3}{2}x_1^K - \frac{1}{2}x_2^K = \frac{5}{2}x_1^N +
\frac{7}{2}x_2^N\,.$

Složky formy $ \omega$ v bázi $ N^\ast$ jsou tedy $ (\omega^1_{N^\ast},
\omega^2_{N^\ast})=(\frac{5}{2},\frac{7}{2})$.

Pro kontrolu můžete explicitně duální bázi k $ N$ spočítat ( $ \vec{n}^1=(\frac{1}{4},-\frac{3}{8})$, $ \vec{n}^2=(\frac{1}{4},\frac{1}{8})$) a přesvědčit se, že jsme dostali správný výsledek. Jako dobré cvičení si lze rozmyslet, proč tato metoda funguje.

Úlohu lze řešit i jinak. Využijeme tvrzení: Je-li $ A$ matice přechodu od $ M$$ N$, pak pro složky formy $ \omega$ platí

$\displaystyle (\omega^1_{N^\ast},\omega^2_{N^\ast})=
(\omega^1_{M^\ast},\omega^2_{M^\ast})A\,.$

Matici přechodu od $ M=\{\vec{m}_1,\vec{m}_2\}$ ke $ K$ (kde $ K$ je kanonická báze) určíme z

$\displaystyle (\vec{m}_1,\vec{m}_2) =
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 1...
...rray}{ccccccccccccc} 1 & 1\cr 1 & -1\end{array}\right)
(\vec{m}_1,\vec{m}_2)\,.$

Inverzní matice počítáme nejrychleji pomocí Čihákova pravidla 38 (příklad 6.5). Pro matici přechodu od $ K$ $ N=\{\vec{n}_1,\vec{n}_2\}$ dostaneme podobně

$\displaystyle (\vec{n}_1,\vec{n}_2) = \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 3\cr -2 &2\end{array}\right)(\vec{e}_1,\vec{e}_2)$

a nakonec tedy

$\displaystyle (\omega^1_{N^\ast},\omega^2_{N^\ast})=(1,2)\left(\begin{array}{cc...
...n{array}{ccccccccccccc} 1 & 1\cr 1 & -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}(5,7)\,.
$

$ \ast$PV,KV$ \ast$