Duální báze

Úkol: Budiž dán vektorový prostor {\bb R}$ ^3$ a jeho báze $ S=\{\vec{s}_1,\vec{s}_2,
\vec{s}_3\}$ a $ N=\{\vec{n}_1,\vec{n}_2, \vec{n}_3\}$, kde

$\displaystyle S=\left\{\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr 0\cr 2\end{array...
...ht),
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 3\cr 2\cr 1\end{array}\right)\right\}.
$

Úmluva: v tomto příkladu užíváme Einsteinovu sumační konvenci, malými tučnými latinskými písmeny značíme vektory a malými tučnými řeckými písmeny značíme formy. Připomínáme, že indexy bázových vektorů se píší dole, indexy bázových forem nahoře; u souřadnic je to naopak, složky vektoru (vůči nějaké bázi) se píší s indexy nahoře, složky formy mají indexy dole.
  1. Najděte duální bázi k bázi $ S$, označte formy tvořící duální bázi jako {\mb \char27 }$ ^i$ a duální bázi označte $ S^{\ast}$.
  2. Najděte souřadnice bázových vektorů $ N$ vůči bázi $ S$.
  3. Najděte duální bázi k bázi $ N$, označte formy tvořící duální bázi jako {\mb \char23 }$ ^i$ a duální bázi označte $ N^{\ast}$.
  4. Určete souřadnice vektoru $ \vec{v}=(3,2,2)^T$ vůči bázím $ S$ a $ N$. Uvažujte formu {\mb \char30 }$ =(1,-1,0)$, tj. {\mb \char30 }$ (\vec{x})=x^1-x^2$, pokud $ \vec{x}=(x^1,x^2,x^3)$ v kanonické bázi, a určete její souřadnice vůči bázím $ S^{\ast}$ a $ N^{\ast}$.


Řešení: Nejdříve si uvědomíme, jak vypadá působení formy (lineární funkce, která vezme vektor z  {\bb R}$ ^3$ a přiřadí mu číslo) na vektor $ \vec{w}$

   {\mb \char30 }$\displaystyle \left( \vec{w}\right)
=$   {\mb \char30 }$\displaystyle \left[\left(\begin{array}{c} w^1 \\ w^2 \\ w^3\end{array}\right)\right]
= \phi_1 w^1 + \phi_2 w^2 + \phi_3 w^3\,,
$

kde $ \phi_i$ jsou nějaká čísla charakterizující danou formu (jsou to její souřadnice v bázi duální ke kanonické bázi) a $ w^i$ jsou souřadnice vektoru $ \vec{w}$. Předešlé tvrzení lze také zapsat jako (obvyklé násobení řádek krát sloupec)

   {\mb \char30 }$\displaystyle \left( \vec{w}\right)
= (\phi_1, \phi_2, \phi_3)
\left( \begin{ar...
...\ w^3\end{array} \right)
= \phi_1 w^1 + \phi_2 w^2 + \phi_3 w^3 = \phi_iw^i\,.
$


1. Podmínka na formy, které tvoří duální bázi k $ S$ je následující

{\mb \char27 }$\displaystyle ^i \left( \vec{s}_j \right)= \delta ^i _j\,,$ (94)

což znamená: vypočteme-li hodnotu $ i$-té formy duální báze na $ j$-tém bázovém vektoru, dostaneme jedna, pokud $ i=j$, a nula, pokud $ i \neq j$. Chceme tedy, aby platilo

\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mbox{{\mb \char27 }} ^1\...
...ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{displaymath}

což zapíšeme ve zkratce jako $ \Sigma \mathcal{S} =\mathbbm{1}$, kde $ \mathcal{S}$ je matice, která má v $ i$-tém sloupci souřadnice bázového vektoru $ \vec{s}_i$ a $ \Sigma$ je matice, která má v $ j$-tém řádku souřadnice formy duální báze {\mb \char27 }$ ^j$. Hledáme-li duální bázi k $ S$, přečteme předcházející tvrzení takto:

$\displaystyle \Sigma = \mathcal{S}^{-1}\,.
$

Stačí proto invertovat matici $ \mathcal{S}$ a v řádcích této inverze přečíst souřadnice forem báze duální k $ S$ vzhledem k bázi duální ke kanonické bázi. Jest

\begin{displaymath}
\mathcal{S}=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 &...
...}
-1 & 1 & 1 \\
2 & -2 & -1 \\
-2 & 3 & 1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

a složky forem duální báze jsou

   {\mb \char27 }$\displaystyle ^1 = (-1,1,1)\,,\ $   {\mb \char27 }$\displaystyle ^2 = (-2,-2,-1)\,,\ $   {\mb \char27 }$\displaystyle ^3 = (-2,3,1)\,.
$

Připomeňme, jak souvisí složky forem z  $ (${\bb R}$ ^3)^\ast $ s lineárními zobrazeními na {\bb R}$ ^3$. Je-li vektor $ \vec{x}$ zapsán pomocí složek $ (x^1,x^2,x^3)$ v kanonické bázi $ K=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\}$, pak formy kanonické báze $ K^\ast=\{${\mb \char34 }$ ^1,${\mb \char34 }$ ^2,${\mb \char34 }$ ^3\}$ působí na $ \vec{x}$ samozřejmě podle (94), tedy např. {\mb \char34 }$ ^1(\vec{x})=x^1$. Pokud jsme například formu {\mb \char27 }$ ^1$ zapsali pomocí složek vůči $ K^\ast$, pak tedy musí být {\mb \char27 }$ ^1(\vec{x})=-x^1+x^2+x^3$. Samozřejmě pokud bychom vektor $ \vec{x}$ zapsali v bázi $ S$, tedy $ \vec{x}=(x^1_S,x^2_S,x^3_S)$, bude mít forma {\mb \char27 }$ ^1$ opět podle (94) jednoduchý tvar {\mb \char27 }$ ^1(\vec{x})=x^1_S$.

Ukážeme si ještě jiný způsob, jak v tomto konkrétním případě najít duální bázi. Povšimněte si využití skalárního součinu ($ \cdot$) a vektorového součinu ($ \times$) . Vytvořme vektory:

$\displaystyle \vec{r}_1=+ \frac{\vec{s}_2 \times \vec{s}_3}{\vec{s}_1 \cdot (\v...
...c{\vec{s}_1 \times \vec{s}_2}{\vec{s}_1 \cdot (\vec{s}_2 \times \vec{s}_3)}\,.
$

Co je na nich tak zajímavého? Jelikož se smíšený součin $ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ nemění při cyklické permutaci vektorů49, platí

$\displaystyle \vec{r}_i \cdot \vec{s}_j = \delta _{ij}\,,$ (95)

což nám připomene podmínku na duální bázi (94). Problém je v tom, že se jedná o skalární součin dvou vektorů, nikoliv o působení formy na vektor. Skalární součin zapisujeme

\begin{displaymath}
\vec{a} \cdot \vec{b}
=
\left(
\begin{array}{c}
a^1 \\
a^2 ...
...
b^3 \\
\end{array}\right)
=
\delta _{ij}a^i b^j
=a_j b^j\,,
\end{displaymath}

naproti tomu působení formy na vektor je

   {\mb \char11 }\begin{displaymath}(\vec{b})
=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\cdot
\left(
\begin{ar...
...}
b^1 \\
b^2 \\
b^3 \\
\end{array}\right)
=
\alpha_j b^j\,.
\end{displaymath}

Zdá se proto rozumné udělat z vektoru formu prostě tak, že napíšeme vektor místo do sloupce do řádku50. Tedy shrnuto: napíšeme-li vektory $ \vec{r}_i$ do řádků, máme složky duální báze k $ S$ (proveďte výpočet a ověřte, že duální báze vyjde stejně jako užitím prvního postupu).

Ve fyzice se používá pojem reciproká mříž trojrozměrného krystalu

$\displaystyle \{a_1\vec{v}_1+a_2\vec{v}_2+a_3\vec{v}_3\,,\ a_1,a_2,a_3\in${\bb Z}$\displaystyle \}\,,$ (96)

generovaného nějakými třemi lineárně nezávislými vektory $ \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3$. Reciproká mříž je generována vektory $ \vec{v}_1',\vec{v}_2',\vec{v}_3'$, které splňují $ \vec{v}_i\,'\cdot \vec{v}_j=\delta_{ij}$. Právě jsme tedy odhalili, proč se jí říká někdy duální mříž.


2. K nalezení souřadnic vektorů vůči bázi $ S$ lze s výhodou použít vlastností duální báze. Souřadnicemi vektoru $ \vec{n}$ vůči bázi $ S$ rozumíme takové koeficienty $ c^i$, že platí

$\displaystyle \vec{n}=c^i\vec{s}_i\,,
$

podívejme se, co se stane, pokud na vektor $ \vec{n}$ zapůsobíme nějakou formou z duální báze (budeme využívat vlastnosti duální báze (94))

{\mb \char27 }$\displaystyle ^j(\vec{n})=${\mb \char27 }$\displaystyle ^j(c^i\vec{s}_i)=c^i${\mb \char27 }$\displaystyle ^j(\vec{s}_i)=\delta ^j _i c^i =c^j\,,$ (97)

z čehož plyne jasné poučení: chceme-li získat $ j$-tou souřadnici vektoru $ \vec{n}$ vůči $ S$, zapůsobíme na něj $ j$-tou formou duální báze $ S^{\ast}$. Konkrétně pro vektor $ \vec{n}_1$ máme
$\displaystyle (\vec{n}_1)^1$ $\displaystyle =$ {\mb \char27 }$\displaystyle ^1(\vec{n}_1)=(-1,1,1)(3,1,3)^T=1$  
$\displaystyle (\vec{n}_1)^2$ $\displaystyle =$ {\mb \char27 }$\displaystyle ^2(\vec{n}_1)=(2,-2,-1)(3,1,3)^T=1$  
$\displaystyle (\vec{n}_1)^3$ $\displaystyle =$ {\mb \char27 }$\displaystyle ^3(\vec{n}_1)=(-2,3,1)(3,1,3)^T=0\,,$  

tudíž $ \vec{n}_1=(1,1,0)_S^T$. Obdobně postupujeme pro další vektory a výsledkem je $ \vec{n}_2= (0,1,0)_S^T$, $ \vec{n}_3=(0,1,1)_S^T$. Celkově zapíšeme transformační vztahy mezi vektory $ \vec{n}_i$ a $ \vec{s}_j$ tak, jak jsme zvyklí z příkladu 4.9 či 6.2.

$\displaystyle (\vec{n}_1,\vec{n}_2, \vec{n}_3)= (\vec{s}_1,\vec{s}_2, \vec{s}_3...
... 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=(\vec{s}_1,\vec{s}_2,\vec{s}_3)C\,.$ (98)

Matice $ C$ je tedy maticí přechodu od báze $ S$ k bázi $ N$, pokud píšeme vektory báze do řádkového vektoru.


3. Duální bázi k $ N$ můžeme hledat stejným postupem, jaký jsme užili při hledání duální báze k $ S$. Zde budeme postupovat jinak (nebude to ovšem kratší). Využijeme právě získaného vztahu (98) a znalosti duální báze $ S^{\ast}$. Požadavek na vektory duální báze $ N^{\ast}$ je

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mbox{{\mb \char23 }} ^1\cr\mb...
...har23 }} ^3\end{array}\right)
(\vec{n}_1, \vec{n}_2, \vec{n}_3)=\mathbbm{1}\,,
$

avšak díky (98) můžeme také psát

$\displaystyle \mathbbm{1}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mbox{{\mb \char23...
...box{{\mb \char23 }} ^3\end{array}\right)
(\vec{s}_1, \vec{s}_2, \vec{s}_3)C\,.
$

Na druhou stranu ovšem

$\displaystyle \mathbbm{1}=C^{-1}\mathbbm{1}C =C^{-1} \left(\begin{array}{cccccc...
...r\mbox{{\mb \char27 }} ^3\end{array}\right)
(\vec{s}^1, \vec{s}_2, \vec{s}_3)C
$

a porovnáním posledních dvou výrazů dospějeme ke konečnému vzorečku pro transformaci forem

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mbox{{\mb \char23 }} ^1\cr\mb...
... ^2\cr\mbox{{\mb \char27 }} ^3\end{array}\right) \stackrel{\ast}{=}C^{-1}\Sigma$ (99)

Matice přechodu od $ S^\ast$$ N^\ast$ je tedy $ C^{-1}$ a bázové formy píšeme do sloupcového vektoru (srovnejte s maticí přechodu mezi $ S$ a $ N$ výše). Pokud si v (99) představíme místo {\mb \char23 }$ ^i$, {\mb \char27 }$ ^j$ řádkové vektory složek (místo sloupcových vektorů, v nichž jsou formy, máme tedy matice, v nichž jsou čísla; tento přechod naznačujeme symbolem $ \stackrel{\ast}{=}$), přečteme si v řádcích matice $ C^{-1}\Sigma$ složky bázových forem

   {\mb \char23 }$\displaystyle ^1 = (-1,1,1)\,,\ $   {\mb \char23 }$\displaystyle ^2=(5,-6,-3)\,,$   {\mb \char23 }$\displaystyle ^3 = (-2,3,1)\,.
$


4. Souřadnice vektoru $ \vec{v}$ určíme již zmíněným užitím duální báze $ S^{\ast}$ resp. $ N^{\ast}$ (vztah 97) podle toho, vůči které bázi chceme souřadnice mít. Číselně

$\displaystyle \vec{v}=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr 0\cr 2\end{array}\right)_S=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1\cr -3\cr 2\end{array}\right)_N\,.
$

Navíc víme, že mezi souřadnicemi vůči jednotlivým bazím platí vztah (viz příklad 4.9)

$\displaystyle C (\raise-2pt\vdots)_N = ( \raise-2pt\vdots )_S\,,
\
\mathrm{resp.}
\
( \raise-2pt\vdots )_N = C^{-1}( \raise-2pt\vdots )_S\,.
$

Všimněte si, že složky vektorů se převádějí maticí inverzní k matici přechodu (a navíc se složky píší do sloupců, zatímco bázové vektory do řádků). Nyní přejdeme k určování souřadnic formy {\mb \char30 }$ =(1,-1,0)$ vůči $ S^{\ast}$ a $ N^{\ast}$. Souřadnicemi formy {\mb \char30 } vůči duální bázi $ S^{\ast}$ rozumíme takové koeficienty $ \varphi_i$, že platí

   {\mb \char30 }$\displaystyle =(1, -1, 0) = \varphi_1$   {\mb \char27 }$\displaystyle ^1 + \varphi_2$   {\mb \char27 }$\displaystyle ^2 + \varphi_3$   {\mb \char27 }$\displaystyle ^3 = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)_{S^{\ast}}
\left(\begin{arr...
... ^1\cr\mbox{{\mb \char27 }} ^2\cr\mbox{{\mb \char27 }} ^3\end{array}\right)\,,
$

zkráceně    {\mb \char30 }$ =(\,\cdots)_{S^{\ast}} \Sigma $, odkud plyne $ (\, \cdots )_{S^{\ast}} =$   {\mb \char30 }$ \Sigma^{-1} $. Číselně dostaneme

   {\mb \char30 }\begin{displaymath}=(1,-1,0)
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 0
\end{array}\right) = (1,1,0)_{S^{\ast}}\,,
\end{displaymath}

tedy {\mb \char30 }$ (\vec{x})=x^1_K-x^2_K=x^1_S+x^2_S$. Obdobným způsobem lze postupovat pokud se zajímáme o souřadnice formy {\mb \char30 }$ $ vůči bázi $ N^{\ast}$. Na tomto místě ale provedeme výpočet jinak. Nalezneme totiž transformační vztahy pro souřadnice forem. Víme, že platí vzorec pro transformaci forem (99) a navíc musí být

$\displaystyle (\,\cdots)_{S^{\ast}}
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mbox{{\...
... }} ^1\cr\mbox{{\mb \char27 }} ^2\cr\mbox{{\mb \char27 }} ^3\end{array}\right)=${\mb \char30 }$\displaystyle =
(\,\cdots)_{N^{\ast}}\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mbox{{...
... ^1\cr\mbox{{\mb \char23 }} ^2\cr\mbox{{\mb \char23 }} ^3\end{array}\right)\,.
$

Dosazením z (99) dospějeme k

$\displaystyle (\,\cdots)_{S^{\ast}}
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \mbox{{\...
... ^1\cr\mbox{{\mb \char27 }} ^2\cr\mbox{{\mb \char27 }} ^3\end{array}\right)\,,
$

z čehož konečně plyne hledaný vztah pro transformaci souřadnic forem $ (\,\cdots)_{S^{\ast}}=(\,\cdots)_{N^{\ast}} C^{-1}$, resp. $ (\,\cdots)_{S^{\ast}} C=(\,\cdots)_{N^{\ast}}$. Číselně je

\begin{displaymath}
(1,1,0)_{S^{\ast}}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)= (2,1,1)_{N^{\ast}}\,.
\end{displaymath}

$ \ast$VP$ \ast$