Jedna opravdová forma

Úkol: Ukažte, že $ \{1,x,\ldots,x^n\}$ a

$\displaystyle \left\{\vec{e}^0(f)=f(0),\
\vec{e}^1(f)=\frac{1}{1!}f'(0),\ \ldots,\ \vec{e}^n(f)=\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\right\}
$

jsou navzájem duální báze v prostoru všech polynomů stupně nejvýše $ n$ na $ \langle 0;\infty)$ $ P^n\big(\langle
0;\infty)\big)$ a jeho duálu $ \big[P^n\big(\langle 0;\infty)\big)\big]^*$.

Vypočítejte složky následující formy, která působí na $ P^n\big(\langle
0;\infty)\big)$, v bázi $ \{\vec{e}^0,\ldots,\vec{e}^n\}$

$\displaystyle \varphi :\ f(x)\mapsto \int_0^\infty xe^{-x}f(x)\,.
$

Návod: $ \int_0^\infty x^ne^{-x}=\Gamma(n+1)=n!$


Řešení: Dualitu ověříme podle definice $ \vec{e}^i(\vec{e}_j)=\delta^i_j$ ($ \vec{e}_j$ označujeme funkci $ f(x)=x^j$).

$\displaystyle \vec{e}^i(\vec{e}_j)=\left[\frac{1}{i!}x^j\right]^{(i)}_{x=0}=
\l...
...1)\ldots (j-i+1)}{i!}[x^{j-i}]_{x=0} &\hbox{ pro } i\le j\,.\end{array}\right.
$

Výraz $ [x^{j-i}]_{x=0}$ je ale nula pro $ i<j$ a jedna pro $ i=j$. Pro $ i=j$ je také zlomek před tímto výrazem roven jedné, tedy $ \vec{e}^i(\vec{e}_j)=\delta^i_j$.

Zapišme tedy formu $ \varphi $ jako lineární kombinaci $ \alpha_0\vec{e}^0+\ldots +\alpha_n\vec{e}^n$. Díky dualitě ( $ \vec{e}^i(\vec{e}_j)=\delta^i_j$) bází $ \{\vec{e}_0,\ldots, \vec{e}_n\}$ a $ \{\vec{e}^0,\ldots,\vec{e}^n\}$ lze tyto složky počítat jako $ \varphi (\vec{e}_i)=\alpha_i$. Tedy $ \alpha_i=\varphi (x^i)=\int_0^\infty x^{i+1}e^{-x}=(i+1)!$ Formu $ \varphi $ lze tedy na prostoru $ P^n\big(\langle
0;\infty)\big)$ zapsat jako lineární kombinaci

$\displaystyle \varphi (f)=f(0)+2f'(0)+\ldots +(n+1)f^{(n)}(0)\,.
$

$ \ast$KV$ \ast$