Konvergence k vlastním číslům

Úkol: Nechť $ A$ je hermitovská matice a $ \vec{x}$ je libovolný vektor. Dokažte, že následující posloupnost:

$\displaystyle \vec{x}_n=\frac{A^n \vec{x}}{\vert A^n \vec{x}\vert}$

konverguje k vlastnímu vektoru matice $ A$ nebo k nulovému vektoru anebo má dva hromadné body (dejte je do vztahu k vlastním vektorům matice $ A$). Za jakých podmínek konverguje tato posloupnost k vlastnímu vektoru odpovídajícímu největšímu (v absolutní hodnotě) vlastnímu číslu této matice?

Úmluva: v řešení budeme používat pro skalární součin Diracovu notaci $ \vec{a}\cdot \vec{b}=\langle\vec{a}\vert\vec{b}\rangle $.


Řešení: Protože je matice $ A$ hermitovská, existuje ortonormální báze $ \vec{e}_i$ tvořená jejími vlastními vektory; příslušná vlastní čísla (o nichž víme, že jsou reálná) označme $ \lambda_i$ v pořadí od největšího k nejmenšímu (v absolutní hodnotě). Potom lze provést spektrální rozklad operátoru $ A^n$

$\displaystyle A^n\vec{x}=\sum_{i} \lambda_i^n\langle\vec{e}_i\vert\vec{x}\rangle\vec{e}_i\,.$

Nechť $ i_0$ je nejmenší ze všech indexů $ i$ takový, že $ \langle\vec{e}_i\vert\vec{x}\rangle\not=0$. Pro velká $ n$ bude $ \vert A^n \vec{x}\vert$ určeno především členy odpovídajícími vlastním číslům, které jsou v absolutní hodnotě rovny $ \vert\lambda_{i_0}\vert$. Potom je $ \vec{x}_n$ přibližně rovno

$\displaystyle \vec{x}_n=\frac{A^n \vec{x}}{\vert A^n \vec{x}\vert}\approx \sum\...
...ert\lambda_{i_0}\vert}\right)^n
\langle \vec{e}_i\vert\vec{x}\rangle\vec{e}_i
$

a po odstranění části součtu konvergující k nule

$\displaystyle \vec{x}_n \approx \sum\limits_{i,\ \vert\lambda_i\vert=\vert\lamb...
...{\vert\lambda_i\vert}\right)^n \langle
\vec{e}_i\vert\vec{x}\rangle\vec{e}_i\,.$

Znak $ \vec{a}_n\approx\vec{b}_n$ je třeba chápat jako $ \lim_{n\to\infty}
\vert\vec{a}_n-\vec{b}_n\vert=0$.

Pokud všechny členy v součtu s nenulovým koeficientem $ \langle
\vec{e}_i\vert x\rangle$ mají $ \lambda_i$ kladné, potom posloupnost $ \vec{x}_n$ konverguje k nějakému vlastnímu vektoru odpovídajícímu vlastnímu číslu $ \vert\lambda_{i_0}\vert$. Pokud tomu tak není a jsou některé z nich záporné, potom má uvažovaná posloupnost zřejmě dva hromadné body $ \vec{h}_1=\lim_{n\to\infty}\vec{x}_{2n}$, $ \vec{h}_2=\lim_{n\to\infty}\vec{x}_{2n+1}$, neboť

$\displaystyle \vec{x}_n\approx \sum\limits_{i,\lambda_i=\vert\lambda_{i_0}\vert...
...vert\lambda_{i_0}\vert} (-1)^n
\langle\vec{e}_i\vert\vec{x}\rangle\vec{e}_i\,.
$

Rozdíl těchto hromadných bodů je vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu $ -\vert\lambda_{i_0}\vert$ a pokud jejich průměr je nenulový, je to vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu $ \vert\lambda_{i_0}\vert$. Pokud je $ \lambda_{i_0}=0$, potom jsou všechny členy od prvního počínaje nulové a posloupnost tedy konverguje k nulovému vektoru.

Posloupnost $ \vec{x}_n$ tedy konverguje k vlastnímu vektoru odpovídajícímu největšímu vlastnímu číslu (v absolutní hodnotě) této matice právě tehdy, pokud je toto číslo kladné, vektor $ \vec{x}$ neleží v ortogonálním doplňku vlastního podprostoru odpovídajícího tomuto vlastnímu číslu a pokud má matice $ A$ vlastní číslo $ -\lambda_1$, potom musí vektor $ \vec{x}$ navíc ležet v ortogonálním doplňku vlastního podprostoru odpovídajícího tomuto vlastnímu číslu.

$ \ast$DK$ \ast$