Matice hustoty

Úkol: Uvažujme operátor

$\displaystyle \widehat{W}=\sum_{i=1}^nw_i\vert\psi_i\rangle \langle\psi_i\vert \,,$

kde $ w_i>0$ a $ \sum_{i=1}^nw_i=1$, vektory $ \vert\psi_i\rangle $ jsou normované na jedničku ( $ \langle\psi_i\vert\psi_i\rangle =1$). Používáme Diracovu notaci, protože se jedná o fyzikální příklad -- takovým operátorem se v kvantové teorii popisuje statistická směs stavů $ \vert\psi_i\rangle $. Pokud tedy označíme $ \vert\psi_i\rangle =\vec{v}_i$, můžeme matici hustoty napsat také51 jako operátor $ W:${\bb R}$ ^m\to${\bb R}$ ^m$, $ W\vec{x}=\sum_i (\vec{v}_i\cdot\vec{x})\vec{v}_i$.

Dokažte, že $ \mathop{\rm Tr}\nolimits \widehat{W}=1$ a dále $ \mathop{\rm Tr}\nolimits \widehat{W}^2\leq 1$ a zjistěte, kdy nastane rovnost.


Řešení: Díky známému pravidlu $ \mathop{\rm Tr}\nolimits AB=\mathop{\rm Tr}\nolimits BA$ je $ \mathop{\rm Tr}\nolimits \vert\psi_i\rangle \langle\psi_i\vert =\mathop{\rm Tr}\nolimits \langle\psi_i\vert\psi_i\rangle =
\langle\psi_i\vert\psi_i\rangle =1$, a tedy $ \mathop{\rm Tr}\nolimits
\widehat{W}=\sum_{i=1}^nw_i=1$. Vektor $ \vert\psi_i\rangle $ je sloupcový, zatímco $ \langle\psi_i\vert $ je řádkový (viz opět příklad 13.2).

Předchozí krok můžeme odůvodnit i takto: je-li $ \vert k\rangle ,\
k=1,\dots,N$ ortonormální báze příslušného vektorového prostoru, potom stopa matice je součet diagonálních maticových elementů, načež použijeme rozkladu jedničky $ \sum_{k=1}^N\vert k\rangle \langle k\vert =\mathbbm{1}$ (srovnejte s příkladem 6.3 o ortogonálních projektorech)

$\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits \vert\psi_i\rangle \langle\psi_i\vert =\...
...vert k\rangle \langle k\vert\psi_i\rangle =
\langle\psi_i\vert\psi_i\rangle \,.$

Podobně spočteme $ \widehat{W}^2$:
$\displaystyle \widehat{W}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ds
\sum_{i}^nw_i\vert\psi_i\rangle \langle\psi_i\vert \sum_{j}^n...
...1}^nw_iw_j\vert\psi_i\rangle \langle\psi_i\vert\psi_j\rangle \langle\psi_j\vert$  
$\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits \widehat{W}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ds
\sum_{i,j=1}^nw_iw_j\langle\psi_i\vert\psi_j\rangle \langle\p...
..._i\rangle =
\sum_{i,j=1}^nw_iw_j\vert\langle\psi_i\vert\psi_j\rangle \vert^2\,.$  

Z Cauchyho nerovnosti (viz příklad 5.4) tím pádem dostaneme, že $ \vert\langle\psi_i\vert\psi_j\rangle \vert^2\leq\langle\psi_i\vert\psi_i\rangle
\langle\psi_j\vert\psi_j\rangle =1$. Rovnost nastane, právě když jsou vektory $ \vert\psi_i\rangle $ a $ \vert\psi_j\rangle $ lineárně závislé. Použitím tohoto výsledku už máme

$\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits
\widehat{W}^2\leq\sum_{i,j=1}^nw_iw_j=\sum_{i=1}^nw_i\sum_{j=1}^nw_j=1\,,
$

což jsme měli dokázat.

Rovnost nastane zřejmě buď v případě $ n=1$, nebo pokud jsou všechny $ \vert\psi_i\rangle $ násobkem jediného vektoru. Jelikož dva lineárně závislé vektory v kvantové teorii popisují tentýž stav, nastane $ \mathop{\rm Tr}\nolimits \widehat{W}^2=1$ pouze tehdy, když matice hustoty popisuje čistý stav. Všechny ostatní stavy se nazývají smíšené.

$ \ast$TB$ \ast$