Spektrum polynomu

Úkol: Nechť $ f(x)$ je polynom a $ \sigma({A})$ spektrum matice $ {A}$. Dokažte, že $ f\big(\sigma({A})\big)=\sigma\big(f({A})\big)$.


Řešení: Pokud lze matici $ A$ diagonalizovat, je tvrzení triviální. Pak totiž platí $ \sigma(A^k)=\{\lambda_1^k,\ldots, \lambda_n^k\}$ pokud $ \sigma(A)=\{\lambda_1,\ldots, \lambda_n\}$. Nyní tvrzení dokážeme obecněji.

Inkluze $ f\big(\sigma({A})\big)\subset\sigma\big(f({A})\big)$ plyne z následujících vztahů pro (libovolný) vlastní vektor $ \vec{x}$ matice $ {A}$:

$\displaystyle {A}\vec{x}=\lambda\vec{x}\Rightarrow {A}^k\vec{x}=\lambda^k\vec{x}\,,
\ \ \forall
k=0,1,\ldots\ \Rightarrow \ f({A})\vec{x}=f(\lambda)\vec{x}\,.$

Naopak mějme nějaké $ \mu\in\sigma\big(f({A})\big)$. Z definice je

$\displaystyle \mu\in\sigma\big(f({A})\big)\Longleftrightarrow \mathop{\rm det}\nolimits \big(f({A})-\mu\mathbbm{1}\big)=0\,.$ (100)

Rozložme polynom $ f(x)-\mu$:

$\displaystyle f(x)-\mu=\alpha\prod_k(x-x_k)\,,$ (101)

kde $ \alpha\neq0$. Potom platí také

$\displaystyle f({A})-\mu\mathbbm{1}=\alpha\prod_k({A}-x_k\mathbbm{1})\,.$

Použijeme-li nyní (100), vidíme, že všechna $ A-x_k\mathbbm{1}$ nemohou mít nenulový determinant. Tedy existuje $ x_{k_0}\in \sigma({A})$, které podle (101) splňuje $ f(x_{k_0})=\mu$, a opačná inkluze $ \sigma\big(f({A})\big)\subset
f\big(\sigma({A})\big)$ je takto dokázána.

Pro diagonalizovatelné matice je jednoduchým důsledkem toho, co jsme právě dokázali, tvrzení uváděné v [PLA] jako Hamilton-Cayleyho věta: zvolíme-li $ f(x)=p(x)$ charakteristický polynom $ A$, je $ \sigma\big(p(A)\big)=p\big(\sigma(A)\big)=\{0\}$, a tedy $ p(A)$ musí být nulová matice.

Tvrzení platí i pro všechny ostatní matice, ale tam nelze použít tuto jednoduchou úvahu.

$ \ast$TB$ \ast$