Ještě jednou polynomy matic

Úkol: Uvažujme čtvercovou matici $ {A}$ a (reálný) polynom $ P(x)$.
a)
Za jakých podmínek existuje inverze k $ P({A})$?
b)
A kdy bude tato inverze opět polynomem matice $ {A}$?


Řešení: a) Matice $ P(A)$ je invertibilní, pokud není nula jejím vlastním číslem. Podle úlohy (14.3) tedy existuje její inverze, právě když $ \sigma\big(P(A)\big)=P\big(\sigma({A})\big)$ neobsahuje nulu, neboli když žádné vlastní číslo matice $ {A}$ není kořenem polynomu $ P(x)$.


b) Odpověď je úplně stejná jako v bodě a), tedy pokud existuje inverze, je také polynomem. Abychom to nahlédli, uvažujme okruh reálných polynomů se sčítáním a násobením modulo charakteristický polynom matice $ {A}$ (označme jej třeba $ T$; srovnejte s příkladem 3.4). Násobení matic $ P({A})Q(A)\mathop{\rm mod}\nolimits T(A)$ v tomto okruhu dává stejné výsledky jako $ P(A)Q(A)$ díky $ T({A})=0$ (viz závěr příkladu 14.3).

Rozložíme-li $ P$ na kořenové činitele, vidíme, že v tomto okruhu stačí najít inverzní prvek k těm polynomům stupně $ 1$, které nedělí polynom $ T$. Inverzi k  $ A-\alpha\mathbbm{1}$, $ \alpha\not\in \sigma(A)$ můžeme52 hledat jako polynom $ A$ stupně o jedničku menšího než $ T(x)$. Nakonec se sluší poznamenat, že hledáme-li inverzi ke kvadratickému polynomu, který nemá reálné kořeny (a není tudíž v okruhu reálných polynomů rozložitelný na součin polynomů stupně $ 1$), můžeme jej formálně rozložit alespoň na součin dvou komplexních polynomů a najít inverzní prvky k nim. Inverze k tomuto kvadratickému polynomu pak bude jejich součinem a bude již reálná.

Budeme-li po takovém okruhu reálných polynomů reálné proměnné chtít dokonce, aby byl tělesem, tj. existovala v něm inverze ke každému nenulovému prvku, vidíme, že stupeň $ T$ nebude smět být větší než $ 2$. Např. v případě $ T(x)=x^2+1$ tak dostaneme těleso polynomů stupně nejvýše $ 1$, které je izomorfní s tělesem {\bb C}: zkuste jej popsat; jaký polynom odpovídá ve vašem izomorfizmu $ 2+3 i$?

$ \ast$TB$ \ast$