Polynomy matic potřetí

Úkol: Spočtěte $ \mathbbm{1}+{A}+{A}^2+\dots+{A}^{2000}$, kde matice $ {A}$ je

$\displaystyle {A}=\left(\begin{array}{rrr}
-2&1&-1\\
0&-1&0\\
1&-1&0
\end{array}\right).$


Řešení: Nejprve najdeme vlastní čísla matice $ {A}$. Charakteristický polynom je $ P(\lambda)=-(\lambda+1)^3$. Matice $ {A}$ má tedy jediné vlastní číslo $ -1$, a protože hodnost matice $ {A}+\mathbbm{1}$ je $ 1$, existují dva lineárně nezávislé vlastní vektory. Budeme chtít sestavit Jordanovu bázi {\bb R}$ ^3$ a víme, že se tedy musí skládat ze dvou řetězců: jednoho délky jedna a jednoho délky dva.

Najděme nejdříve nějaký vektor z  Ker $ {}(A+\mathbbm{1})^2\setminus$   Ker $ {}
(A+\mathbbm{1})=$   {\bb R}$ ^3 \setminus$   Ker $ {}(A+\mathbbm{1})$. Jelikož je tento prostor ,,skoro'' celé {\bb R}$ ^3$, zvolíme například $ \vec{v}_3=(1,0,0)^T$ a ověříme $ \vec{v}_2=(A+\mathbbm{1})\vec{v}_3=(-1,0,1)^T\not=0$, tedy $ \vec{v}_3\notin$   Ker $ {}(A+\mathbbm{1})$. Tím máme jeden řetězec hotov ( $ \vec{v}_3\to
\vec{v}_2\to 0$) a potřebujeme najít ještě druhý řetězec, neboli vlastní vektor $ A$ nezávislý na $ \vec{v}_2$; to bude třeba $ \vec{v}_1=(1,1,0)^T$.

V bázi $ (\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3)$ je matice zobrazení indukovaného maticí $ {A}$

$\displaystyle {D}=\left(\begin{array}{rrr}
-1&0&0\\
0&-1&1\\
0&0&-1
\end{array}\right)$

a můžeme psát

$\displaystyle {A}={P}{D}{P}^{-1},$ kde $\displaystyle {P}=\left(\begin{array}{rrr}
1&-1&1\\
1&0&0\\
0&1&0
\end{array}\right).$

Abychom spočetli příslušnou mocninu matice $ {D}$, stačí najít mocniny jednotlivých Jordanových buněk. Potřebujeme tedy především umocnit

$\displaystyle \widetilde{{D}}=\left(\begin{array}{rr}
-1&1\\
0&-1\end{array}\right)=-\mathbbm{1}+{N},$ kde $\displaystyle {N}=\left(
\begin{array}{cc}
0&1\\
0&0
\end{array}\right).$

Jelikož ale $ \mathbbm{1}$ a $ N$ komutují, dostaneme z  binomické věty $ \widetilde{{D}}^k=(-\mathbbm{1})^k+k(-\mathbbm{1})^{k-1}{N}$, neboť všechny mocniny $ {N}$ vyšší než $ 1$ jsou nulové. Vyšlo nám tedy

$\displaystyle {D}^k=\left(\begin{array}{ccc}
(-1)^k&0&0\\
0&(-1)^k&-k(-1)^k\\
0&0&(-1)^k
\end{array}\right),
$

odkud snadno nahlédneme, že platí

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2000}{D}^k=\mathbbm{1}-1000
\left(\begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right).$

Stačí už jenom dopočítat

   to $ \ds {P}\left(\begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right){P}^...
...ht)
\left(\begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&1\\
1&-1&1
\end{array}\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

to $ \hfill\ds =\left(\begin{array}{ccc}
-1&1&-1\\
0&0&0\\
1&-1&1
\end{array}\right)$$\displaystyle \hss
$

a máme výsledek

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2000}{A}^k={P}\left(\sum_{k=0}^{2000}{D}^k\right){P}^...
...{1}-1000\left(\begin{array}{ccc}
-1&1&-1\\
0&0&0\\
1&-1&1
\end{array}\right).$

Výsledku se lze dobrat i jinak, aniž bychom přitom museli explicitně počítat vlastní vektory matice $ {A}$. Stačí vědět, že hodnost matice $ {A}+\mathbbm{1}$ je $ 1$, a tedy existují dva nezávislé vlastní vektory. Odtud plyne, že minimálním polynomem53 matice $ {A}$ je $ P_{min}(\lambda)=(\lambda+1)^2$. Odečtením rovnosti $ {A}^2+2{A}+\mathbbm{1}=0$ a rovnosti $ {A}^3+2{A}^2+{A}=0$ (kterou získáme z první vynásobením $ {A}$) dostaneme $ {A}^3+{A}^2={A}+\mathbbm{1}$, resp. $ {A}^4+{A}^3={A}^2+{A}$. Indukcí potom $ {A}^{2k+2}+{A}^{2k+1}={A}^2+{A}=-({A}+\mathbbm{1})$ pro $ k\in${\bb N} a

$\displaystyle \sum_{k=0}^{2000}{A}^k=\mathbbm{1}-1000({A}+\mathbbm{1})=
\mathbbm{1}-1000\left(\begin{array}{ccc}
-1&1&-1\\
0&0&0\\
1&-1&1
\end{array}\right).$

$ \ast$TB$ \ast$