Konjugované prvky

Úkol: Říkejme, že dva prvky $ B,C\in${\bb G} jsou konjugované, pokud existuje $ A\in${\bb G} takové, že $ B=ACA^{-1}$. Dokažte, že relace ,,býti konjugovaný'', kterou budeme značit $ B \sim C$, je reflexivní ( $ \,\forall A \in${\bb G} platí $ A\sim A$), symetrická ($ A\sim
B$ právě tehdy, pokud $ B\sim A$) a tranzitivní (pokud $ A\sim
B$ a $ B \sim C$, pak také $ A\sim C$); tyto tři vlastnosti shrnujeme do pojmu ekvivalence. Definujme řád prvku $ A\in$   {\bb G} jako nejmenší kladné celé číslo $ n$ takové, že $ A^n=1$, kde $ 1$ značí neutrální prvek. Ukažte, že konjugované prvky mají stejný řád.


Řešení: Zmíněná relace je reflexivní proto, že $ A=KAK^{-1}$ určitě platí pro $ K=1$. Symetrická je proto, že když $ A\sim
B$ tj. $ A=KBK^{-1}$, tak také $ B=K^{-1}AK=LAL^{-1}$ pro $ L=K^{-1}$, tj. $ B\sim A$. Relativně nejsložitější je tranzitivita. Pokud $ A\sim
B$ a $ B \sim C$, tedy pokud $ A=KBK^{-1}$ a $ B=LCL^{-1}$, potom $ A=K(LCL^{-1})K^{-1}=
MCM^{-1}$ pro $ M=KL$.

Každou relaci, která splňuje tato kritéria, nazýváme ekvivalencí a prvky grupy {\bb G} lze rozdělit na třídy ekvivalence, což jsou množiny $ M_i$ takové, že pro $ A\in M_i$ a $ B\in M_j$ platí $ A\sim
B$ právě když $ i=j$.

Pokud máme $ A\sim
B$ tj. $ A=KBK^{-1}$, potom $ A^n\sim B^n$, neboť

$\displaystyle A^n=KBK^{-1}\cdot KBK^{-1} \dots
KBK^{-1} = KB^nK^{-1}\,,$

jelikož činitelé $ K^{-1}K$ uvnitř se zkrátí. $ A$ má rád $ n$, pokud $ n$ je nejmenší kladné celé číslo, že $ A^n\sim 1$. Ale neutrální prvek je konjugovaný jedině sobě, poněvadž $ K1K^{-1}=KK^{-1}=1$ pro každé $ K$. Tudíž $ A^n\sim B^n$ je konjugované k $ 1$ právě tehdy, když $ B^n=1$; jinými slovy $ A$ a $ B$ mají stejný řád.

$ \ast$LM$ \ast$