Hadamardovy matice

Úkol: Matice $ H$ typu $ n\times n$ se nazývá Hadamardova matice řádu $ n$, pokud $ H_{ij}\in\{1,-1\}$ a $ H^{T}H=n\mathbbm{1}$. Dokažte existenci Hadamardových matic řádu $ 2^k,k\in$   {\bb N}. Dokažte, že existence Hadamardovy matice řádu $ k$ implikuje existenci Hadamardovy matice řádu $ 2k$. Dokažte, že existují pouze Hadamardovy matice sudých řádů a řádu $ 1$. Dokažte, že pokud existuje Hadamardova matice řádu $ k$, existuje i Hadamardova matice řádu $ k$, která obsahuje v prvním sloupci a v prvním řádku pouze jedničky. Jakých hodnot může nabývat determinant Hadamardovy matice řádu $ k$?


Řešení: Nejprve ukážeme, že existence Hadamardovy matice řádu $ k$ implikuje existenci Hadamardovy matice řádu $ 2k$. Nechť $ H$ je Hadamardova matice řádu $ k$ a uvažme matici $ H'=({H\ \phantom{-}H \atop H\ -H})$. Potom platí:

to $ \ds
H'^{ T}H'=
\left(\begin{array}{cc} H^{ T} & H^{ T} \\
H^{ T} & -H^{ T}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} H & H \\ H & -H\end{array}\right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds =\left(\begin{array}{cc} H^{ T}H+H^{ T}H &
H^{ T}H-H^{ T}H \\
H^{ T...
...thbbm{1}_{k} & 0 \\ 0 & 2k\mathbbm{1}_{k}
\end{array}\right)=2k\mathbbm{1}_{2k}$$\displaystyle \hss .$

Zápisem $ \mathbbm{1}_k$, resp. $ \mathbbm{1}_{2k}$ myslíme jednotkovou matici $ k\times k$, resp. $ 2k\times 2k$. Hadamardovy matice řádu $ 1$ a 2 jsou matice $ \left(\begin{array}{c}1\end{array}\right)$ a $ ({1 \phantom{-}1\atop 1 -1})$; matice řádu $ 2^l,$ $ l\in${\bb N} pak lze vytvořit uvedeným postupem.

Nechť $ H$ je Hadamardova matice řádu $ k\ge 2$. Matice $ H^{ T}H$ obsahuje mimo diagonálu nulové prvky -- to znamená, že řádky matice $ H$ jsou na sebe kolmé. Protože jsou však tvořeny $ \pm 1$, musí mít nutně sudou velikost, neboť z $ k-i$ jedniček a $ i$ minus jedniček nulu neposčítáme, je-li $ k$ liché.

Ze vztahu $ H^{ T}H=k\mathbbm{1}$ plyne $ \vert\mathop{\rm det}\nolimits
H\vert=\sqrt{k^k}=k^{k/2}$. Determinant Hadamardovy matice řádu $ k$ může mít tedy pouze hodnotu $ \pm k^{k/2}$.

Poslední nedokázané tvrzení je, že existuje-li Hadamardova matice $ H$ určité velikosti, existuje také stejně velká Hadamardova matice, jejíž první řádek a sloupec obsahuje pouze $ +1$. Pokud je totiž některý prvek prvního řádku $ -1$, potom změníme znaménko všech prvků sloupce, který obsahuje tento prvek. Stejně postupujeme i v případě prvků prvního sloupce (měníme samozřejmě znaménko prvků na řádku). Je snadné si rozmyslet, že tyto úpravy neovlivní hodnotu součinu $ H^{ T}H$.

$ \ast$DK$ \ast$