Základní vektorové identity v  {\bb R}$ ^3$

Úkol: Dokažte vektorové identity:

$\displaystyle \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c} )$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{b}
(\vec{a}\cdot \vec{c}) - \vec{c} (
\vec{a}\cdot \vec{b} )$  
$\displaystyle ( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot ( \vec{c} \times \vec{d} )$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ( \vec{a} \cdot \vec{c} ) ( \vec{b} \cdot \vec{d} ) - (
\vec{b} \cdot \vec{c} )
( \vec{a} \cdot \vec{d})$  
$\displaystyle ( \vec{a} \times \vec{b}) \times ( \vec{c} \times \vec{d} )$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{b} \big( \vec{a} \cdot ( \vec{c} \times \vec{d} )\big) - \vec{a} \big(
\vec{b} \cdot ( \vec{c} \times \vec{d} )\big)$  

Rozmyslete si, které závorky jsou v uvedených výrazech zbytečné a které naopak musíme bezpodmínečně psát. Dále si uvědomte, že pravou (i levou) stranu lze zapsat v mnoha různých tvarech užitím např. $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, $ \phi
\vec{a} = \vec{a} \phi$, ...Skalárním součinem myslíme kanonický součin $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum _{i=1} ^3 a_ib_i$.


Řešení: Důkaz provedeme pomocí souřadnicového zápisu operací vektorový součin ($ \times$) a skalární součin ($ \cdot$). Výsledkem vektorového součinu dvou vektorů je opět vektor, jehož $ i$-tou složku můžeme vyjádřit takto (užíváme Einsteinovu sumační konvenci)

$\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b})_i=\epsilon_{ijk}a_jb_k\,.
$

Levi-Civittův symbol $ \epsilon_{ijk}$ jsme definovali v příkladu 6.1 a více se o něm pojednává v 19.5, kde jsou odvozeny některé jeho vlastnosti. Při odvozování vektorových identit použijeme z těchto vlastností pouze vztah (189)

$\displaystyle \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk}= \delta_{il}\delta_{jm}- \delta_{im}\delta_{jl}$ (102)

a dále budeme mít na paměti, že $ \epsilon_{ijk}$ je totálně antisymetrický. Výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je číslo, které můžeme zapsat jako

$\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=\delta_{ij}a_ib_j=a_ib_i=a_jb_j\,,
$

kde $ \delta_{ij}$ je Kroneckerův symbol.

Nyní k prvnímu vzorci, který chceme dokázat.

$\displaystyle \big(\vec{a} \times (\vec{b} \times
\vec{c})\big)_i=\epsilon_{ijk}a_j(\vec{b} \times
\vec{c})_k=\epsilon_{ijk}a_j \epsilon_{klm}b_lc_m
$

Nyní přišel čas použít identitu (102)

\begin{multline*}
\epsilon_{ijk}a_j \epsilon_{lmk}b_lc_m=(\delta_{il}\delta_{jm}...
...lta_{il}b_l(\delta_{jm}a_jc_m)-\delta_{im}c_m(\delta_{jl}a_jb_l)
\end{multline*}

Použili jsme $ \epsilon_{lmk}=\epsilon_{klm}$. Uvědomíme si, že $ \delta_{il}b_l=b_i$ a $ \delta_{jm}a_jc_m=\vec{a}
\cdot \vec{c}$, a můžeme pro libovolné $ i$ psát

$\displaystyle \big(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\big)_i=b_i(\vec{a} \cdot
\vec{c}) - c_i(\vec{a} \cdot \vec{b})\,,
$

jinak řečeno $ \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c} ) =
\vec{b} (\vec{a}\cdot \vec{c}) - \vec{c} ( \vec{a}\cdot
\vec{b} )$, neboli ,,identita bac minus cab''.

Odvození druhého vzorce provedeme rychleji.

\begin{multline*}
\big[( \vec{a} \times \vec{b} ) \cdot ( \vec{c} \times \vec{d}...
...) - (
\vec{b} \cdot \vec{c} ) ( \vec{a} \cdot \vec{d})\big]_i\,.
\end{multline*}

Poslední vzorec lze snadno odvodit z prvního vzorce, pokud označíme $ \vec{v}=\vec{c}\times \vec{d}$. Pokud se však čtenáři zalíbilo počítání se symboly $ \varepsilon _{ijk}$, může použít následující postup:

\begin{multline*}
\big[( \vec{a} \times \vec{b}) \times ( \vec{c} \times \vec{d}...
...a} \big( \vec{b}
\cdot ( \vec{c} \times \vec{d} )\big)\big]_i\,.
\end{multline*}

$ \ast$VP$ \ast$