Chování smíšeného součinu při lineárních transformacích

Úkol: Ukažte, že platí ( $ \cdot$ je skalární součin, $ \times$ je vektorový součin, $ A$ je libovolný lineární operátor a pohybujeme se v  {\bb R}$ ^3$ )

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
A \vec{u} \cdot A \vec{v} \times A \vec{w...
...\, A^2
\big) \vec{u} \cdot \vec{v} \times \vec{w}}&
\end{array}\end{displaymath}


Řešení: Budeme používat Einsteinovu sumační konvenci. Nejprve uvěříme tvrzení $ \mathop{\rm det}\nolimits A = \varepsilon _{ijk} A_{i1}A_{j2}A_{k3}$ a poté již není těžké ověřit, že (indexy $ l, m, n $ jsou volné a nesčítá se přes ně) $ \varepsilon _{lmn} \mathop{\rm det}\nolimits A = \varepsilon _{ijk}
A_{il}A_{jm}A_{kn}$ (obě tvrzení jsou vysvětlena v příkladu 19.5). Nyní snadno dokážeme první tvrzení

to $ \ds
A \vec{u} \cdot A \vec{v} \times A \vec{w} = \varepsilon _{ijk}
A_{il}u_lA_{jm}v_mA_{kn}w_n=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle =\left( \varepsilon _{ijk} A_{il}A_{jm}A_{kn} \right)u_lv_mw_n=
\...
...mits A = \ \vec{u} \cdot \vec{v} \times
\vec{w}\mathop{\rm det}\nolimits A\,.
$

K důkazu druhého tvrzení použijeme poslední identitu z příkladu 19.5, která říká, že

$\displaystyle \varepsilon _{ijk}\delta_{lm}=\varepsilon _{mjk}\delta_{il}+\varepsilon _{mki}\delta_{jl}+
\varepsilon _{mij}\delta_{kl}.
$

Začneme upravovat pravou stranu.

   to $ \ds
\vec{u} \cdot \vec{v} \times \vec{w}\mathop{\rm Tr}\nolimits A = \delta_{lm}
A_{ml} \varepsilon _{ijk} u_iv_jw_k=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle =\varepsilon _{mjk} \left(\delta_{il} A_{ml} u_i \right)v_jw_k +
...
...v_j\right)w_k +
\varepsilon _{mij} u_iv_j \left( \delta_{kl} A_{ml}w_k \right)
$

Toto je ale přímo výraz $ A \vec{u} \cdot \vec{v} \times \vec{w} +
\vec{u} \cdot A \vec{v} \times \vec{w} + \vec{u} \cdot \vec{v}
\times A \vec{w} $, a to rozepsaný do složek. Druhé tvrzení je tímto dokázáno.

Důkaz posledního tvrzení provedeme užitím první identity z příkladu 19.5

$\displaystyle \varepsilon _{lmk}\varepsilon _{nop}= \mathop{\rm det}\nolimits \...
... \delta_{ko} \\ \delta_{lp} & \delta_{mp} & \delta_{kp} \\ \end{array} \right).$ (103)

Nejprve si ale uvědomíme, že platí

$\displaystyle \frac{1}{2}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmk}A_{il}A_{jm}=\frac...
... =\hskip-1.1pt
\frac{1}{2} \big((\mathrm{Tr} \ A )^2 - \mathrm{Tr} \ A^2 \big)
$

Opět začneme upravovat pravou stranu.

$\displaystyle \frac{1}{2} \big((\mathrm{Tr} \ A )^2 - \mathrm{Tr} \ A^2 \big)
...
...
\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmk}A_{il}A_{jm} \varepsilon _{nop}u_nv_ow_p=
$

$\displaystyle =
\frac{1}{2}\varepsilon _{ijk}\left(\varepsilon _{lmk}\varepsilon _{nop}\right)A_{il}A_{jm}u_nv_ow_p,
$

na součin v závorce použijeme identitu (103) a výsledkem je

   to $ \ds
\frac{1}{2} \varepsilon _{ijk} \left(A_{il}u_lA_{jm}v_mw_k + A_{il}v_lA_{jm}w_mu_k + A_{il}w_lA_{jm}u_mv_k-\right.\hfill$$\displaystyle \hss
$

to $ \hfill\ds \left.- A_{il}v_lA_{jm}u_mw_k
- A_{il}w_lA_{jm}v_mu_k - A_{il}u_lA_{jm}w_mv_k \right)\,,$$\displaystyle \hss
$

nyní stačí využít toho, že $ \varepsilon _{ijk}=-\varepsilon _{jik}$ apod. a výsledkem je levá strana dokazované rovnosti.

$ \ast$VP$ \ast$