Komutátorová binomická formule

Úkol: Dokažte následující formuli s binomickými koeficienty a složenými komutátory, která říká, jak lze prokomutovat $ C^n$ přes $ B$.

$\displaystyle {C}^n{B}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {B}{C}^n
-n[{B},{C}]{C}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}\big[[{B},{C}],{C}\big]{C}^{n-2}-\dots$  
    $\displaystyle \ldots + (-1)^n\big[\dots[[{B},{C}],{C}],\dots ,{C}\big]\,.$ (104)


Řešení: Zvolíme si matici $ C$ pevně a definujeme operátory

$\displaystyle K({B})=[{B},{C}]\,,\qquad L({B})={C}{B}\,,\qquad R({B})={B}{C}\,.$

působící na prostoru reálných matic $ n\times n$. Nejprve se přesvědčíme, že zobrazení $ K$ a $ R$ komutují

$\displaystyle K\big(R({B})\big)=K({B}{C})=[{B}{C},{C}]=
[{B},{C}]{C}= R([{B},{C}])=R\big(K({B})\big)\,.$

Můžeme proto využít binomické formule

$\displaystyle L^n=(R-K)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{n!}{k!(n-k)!}R^{n-k} K^k.$ (105)

Ostrým pohledem na rovnosti (104) a (105) zjistíme, že říkají totéž, pokud necháme členy v rovnici (105) působit na $ {B} $. Levou stranu rovnice (104) je třeba číst jako ,,operátor násobení maticí $ {C}$ zleva'' umocněný na $ n$-tou, tj. $ L^n$. Označení $ K,L,R$ jsme volili jako zkratku slov ,,komutátor'', ,,levá'' a ,,pravá''.

$ \ast$LM,MZ$ \ast$