Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích

Úkol: Najděte vyjádření Laplaceova operátoru ve sférických souřadnicích v  {\bb R}$ ^n$.


Řešení: Vyřešíme nejprve podstatně obecnější úlohu -- najdeme tvar Laplaceova operátoru v libovolných ortogonálních souřadnicích.

Uvažujme kartézské souřadnice $ x_1,\dots,x_n$ v prostoru {\bb R}$ ^n$ a zavedeme v něm nové souřadnice $ z_1,\dots,z_n$ vztahy $ z_k=z_k(x_1,\dots,x_n)$.

Transformační pravidlo pro derivace podle souřadnic dostaneme z věty o derivování složené funkce: pokud označíme formální54 řádkové vektory gradientů

$\displaystyle \left({\partial \over\partial \vec{x}}\right)=\left({\partial \ov...
...)=\left({\partial \over\partial z_1},\dots,{\partial \over\partial z_n}\right),$

říká tato věta, že

$\displaystyle \left({\partial \over\partial \vec{z}}\right)=\left({\partial \over\partial \vec{x}}\right){J},$   kde $\displaystyle J_{ij}={\partial x_i\over\partial z_j}\,,$ (106)

přičemž derivace podle $ \vec{x}$ na pravé straně nepůsobí na elementy matice $ {J},$ jde o čistě algebraické násobení matic. Matice $ J$ se nazývá Jacobiho matice.

K vyjádření Laplaceova operátoru použijeme nejprve kartézské souřadnice $ x_1,\dots,x_n$, kde je to součet druhých parciálních derivací podle jednotlivých souřadnic, a pak přejdeme pomocí (106) k souřadnicím $ z_1,\ldots,z_n$

$\displaystyle \Delta=\left({\partial \over\partial \vec{x}}\right)\left({\parti...
...vec{z}}\right){J}^{-1}{J}^{-1T}\left({\partial \over\partial \vec{z}}\right)^T.$ (107)

Ještě jednou zdůrazněme, že první gradient v (107) nepůsobí na matici $ {J}^{-1}$, která pochází z (106). Aby se to nepletlo, označíme členy, které musíme derivovat prvním z gradientů, šipkou $ \uparrow$. Rovnice (107) pak bude vypadat

$\displaystyle \Delta=\left({\partial \over\partial \vec{z}}\right){J}^{-1} \set...
...} \setbox \aux=\hbox to\wd\pom{\hfil$\uparrow$\hfil} \vtop{\box\pom\box\aux}^T.$ (108)

Představujte si to tak, že (108) rozepíšeme jako součin maticových elementů, přičemž první z operátorů derivace přiložíme k součinu těch členů, na které ukazuje šipka.

Nyní už se konečně pustíme do počítání. Na tomto místě použijeme požadavek ortogonality souřadnic $ z_1,\dots,z_n$, který neříká nic jiného, než že matice

$\displaystyle {D}={J}^T{J}$ (109)

má být diagonální. Její diagonální elementy $ D_{kk}=\sum_j J_{jk} J_{jk}=
\sum_j (\frac{\partial x_j}{\partial z_k})^2$ označme $ \lambda_{k}^2$ ( $ \lambda_{k}>0$ jsou tzv. Laméovy koeficienty55).

Dosazením z (109) do (108) máme

$\displaystyle \Delta=\left({\partial \over\partial \vec{z}}\right){D}^{-1}{J}^T...
...}
\setbox \aux=\hbox to\wd\pom{\hfil$\uparrow$\hfil}
\vtop{\box\pom\box\aux}^T.$

Rozmyslete si, že nyní můžeme použít vzorec pro derivaci součinu funkcí. S využitím $ D=D^T$ můžeme tedy napsat $ \Delta$ jako

$\displaystyle \left({\partial \over\partial \vec{z}}\right){D}^{-1}{J}^T\left[ ...
...ox \aux=\hbox to\wd\pom{\hfil$\uparrow$\hfil} \vtop{\box\pom\box\aux}^T\right].$ (110)

Jednotlivým členům tohoto vzorce se budeme věnovat zvlášť -- první, který nám dá nejvíc práce, si necháme na konec a zatím se spokojíme s druhými dvěma.

Tedy za prvé, díky (109) platí

to $ \ds
\left({\partial \over\partial \vec{z}}\right){D}^{-1}{J}^T{J}
\setbox \po...
...op{\box\pom\box\aux}^{-1}\left({\partial \over\partial \vec{z}}\right)^T=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle \mbox{\hbox to\textwidth{$\hfill\ds =\sum_{k=1}^n\left({\partial ...
...al z_k}{1\over \lambda_{k}^2}\right){\partial \over\partial z_k}\,,\hskip2cm$}}$$\displaystyle \hss
$ (111)

Za druhé,

$\displaystyle \left({\partial \over\partial \vec{z}}\right){D}^{-1}{J}^T{J}{D}^...
...aux}^T= \sum_{k=1}^n{1\over \lambda_{k}^2}{\partial {}^2\over\partial z_k^2}\,.$ (112)

Konečně slíbený první člen v (110) (označme jej třeba $ B$) rozepíšeme do složek:

$\displaystyle B=\sum_{i,j,k}{\partial \over\partial z_i}{1\over \lambda_{i}^2}J...
...l} \vtop{\box\pom\box\aux}{1\over \lambda_{k}^2}{\partial \over\partial z_k}\,.$ (113)

Index $ j$ se vyskytuje jenom ve dvou členech a můžeme přes něj snadno vysčítat (použijeme přitom záměnnost parciálních derivací -- hádejte, kde)

% latex2html id marker 81890
$\displaystyle \sum_jJ^T_{ij}{\partial J_{jk}\over...
...da_{i}^2\over\partial z_k}=
\lambda_{i}{\partial \lambda_{i}\over\partial z_k}.$

Dosazením do (113) už dostaneme příjemnější výraz

$\displaystyle B=\sum_{i,k}{1\over \lambda_{i}\lambda_{k}^2}{\partial \lambda_{i}\over\partial z_k}{\partial \over\partial z_k}\,.$

Označíme-li ještě $ \Lambda=\prod_i\lambda_{i}$, můžeme se zbavit sumy přes $ i$: $ \sum_i (1/\lambda_i)(\partial \lambda_i/\partial
z_k)=(1/\Lambda)(\partial \Lambda/\partial z_k)$.

$\displaystyle B=\sum_k{1\over \Lambda}{1\over\lambda_{k}^2}\left({\partial \over\partial z_k} \Lambda\right){\partial \over\partial z_k}\,.$ (114)

Konečně na úplný závěr můžeme složit (111), (112) a (114) zpět do jednoduchého vzorce

$\displaystyle \Delta={1\over\Lambda}\sum_{k=1}^n{\partial \over\partial z_k}{\Lambda\over\lambda_{k}^2}{\partial \over\partial z_k}\,.$ (115)

Vraťme se ještě ke sférickým souřadnicím. Naznačíme induktivní postup, jak je zavést v  {\bb R}$ ^n$.

\begin{displaymath}\begin{array}{lll}
n=2&n=3&n=4\\
x_1=r\cos^{} \varphi _{1}...
...os^{} \varphi _{3}\\
&& x_4=r\sin^{} \varphi _{3}
\end{array}\end{displaymath}

Úhly $ \varphi _k$ pro $ k=2,3,\dots$ bereme z  $ (-{\pi\over2},{\pi\over2})$ a $ \varphi _1$ $ (-\pi,\pi)$. Například při přechodu od $ n=2$$ n=3$ jsme k dosavadním souřadnicím přidali úhel $ \varphi _2$, který popisuje odchylku polohového vektoru daného bodu $ A$ od roviny {\bb R}$ ^2$. Souřadnice $ x_1,x_2$ tedy musíme vynásobit $ \cos^{} \varphi _{2}$, souřadnice $ x_3$ bude zřejmě $ r\sin^{} \varphi _{2}$. Pro vyšší $ n$ je postup stejný, poslední úhel $ \varphi _{n-1}$ je vždy úhel mezi polohovým vektorem bodu $ A$ a rovinou {\bb R}$ ^{n-1}$.

Laméovy koeficienty vyjdou po řadě

$\displaystyle \lambda(r)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle \lambda(\varphi _1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\cos^{} \varphi _{2}\cos^{} \varphi _{3}\dots\cos^{} \varphi _{n-1}$  
$\displaystyle \lambda(\varphi _2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\cos^{} \varphi _{3}\dots\cos^{} \varphi _{n-1}$  
    $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle \lambda(\varphi _{n-2})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\cos^{} \varphi _{n-1}$  
$\displaystyle \lambda(\varphi _{n-1})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\,,$  

a tedy $ \Lambda=r^{n-1}\cos^{} \varphi _{2}\cos^2\varphi _3\ldots \cos^{n-2}\varphi _{n-1}\,.$ Dosazením do (115) po snadné úpravě dostaneme

$\displaystyle \Delta={1\over r^{n-1}}{\partial \over\partial r}r^{n-1}{\partial...
...artial \varphi _k}\cos^{k-1} \varphi _{k}{\partial \over\partial \varphi _k}\,,$ (116)

což můžeme také přepsat jako

$\displaystyle \Delta={\partial {}^2\over\partial r^2}+{n-1\over r}{\partial \ov...
...)\mathop{\rm tg}\nolimits \varphi _k{\partial \over\partial \varphi _k}\right].$

Speciálně pro $ n=2,3$ vyjdou známé vztahy
    $\displaystyle \Delta_2={1\over r}{\partial \over\partial r}r{\partial \over\partial r}+{1\over
r^2}{\partial {}^2\over\partial \varphi _1^2}$  
    $\displaystyle \Delta_3={1\over r^2}{\partial \over\partial r}r^2{\partial \over...
...r\partial \varphi _2}\cos^{} \varphi _{2}{\partial \over\partial \varphi _2}\,.$  

U sférických souřadnic v  {\bb R}$ ^3$ bývá zvykem používat označení $ \varphi _1=\varphi $ a $ \varphi _2=\vartheta $.

$ \ast$TB$ \ast$