Stochastické matice

Úkol: Nechť $ A$ je stochastická matice, neboli matice s nezápornými elementy, jejíž sloupcové součty jsou jedna. Dokažte, že pokud je $ A$ nerozložitelná (viz příklad 14.6), pak existuje právě jeden vektor $ \vec{v}$, jehož součet složek je jedna, takový, že $ A\vec{v}=\vec{v}$. Dále ukažte, že má tento vektor pouze nezáporné složky.


Řešení: Nejprve dokažme existenci. Jednička je vlastním číslem matice $ A$, neboť matice $ A-\mathbbm{1}$ je singulární: její sloupcové součty jsou nula, a tedy jsou její řádky lineárně závislé. Nechť $ \vec{v}$ je vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu $ 1$. Pro spor nyní předpokládejme, že některé jeho složky jsou kladné a jiné záporné: označme $ I_{+}$ indexy jeho kladných složek a $ I_{-}$ indexy jeho záporných složek. Jelikož $ A_{ij}\ge 0$, platí

\begin{multline*}
\sum_{i\in I_+} v_i=\sum_{i\in I_+}\sum_{j} A_{ij}v_j=\\
=\...
...\sum_{j\in I_+}v_j +
\sum_{i\in I_+}\sum_{j\in I_-}A_{ij}v_j\,.
\end{multline*}

Odtud je vidět, že $ \sum_{i\in I_+} \sum_{j\in
I_-}A_{ij}v_j=0$, a tedy pro všechny $ i\in I_+$ a $ j\in I_-$ platí $ A_{ij}=0$. Přerovnáme-li nyní řádky a sloupce matice tak, aby řádky (a stejně i sloupce) s indexy z množiny $ I_+$ byly nyní na prvních řádcích (sloupcích), dostaneme matici v blokovém tvaru

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} B & C\cr O & D\end{array}\right),
$

neboli jsme získali rozklad matice $ A$ (viz opět příklad 14.6). Tedy musí vektor $ \vec{v}$ obsahovat pouze nezáporné složky, a dělíme-li jej součtem jeho složek (který je nyní automaticky nenulový), dostaneme vektor se součtem složek jedna.

Nyní dokážeme jednoznačnost vektoru $ \vec{v}$. Nechť $ \vec{v}$ a $ \vec{w}$ jsou dva různé vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu jedna takové, že součet jejich složek je jedna. Vektor $ \vec{v}-\vec{w}$ je pak také vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu jedna; jeho součet složek je nula, a tedy obsahuje jak kladné tak i záporné složky, což ovšem není možné. Dokázali jsme tím, že existuje právě jeden vektor $ \vec{v}$ splňující podmínky zadání příkladu.

$ \ast$DK$ \ast$