Určení struktury Jordanovy báze zobrazení $ \phi_A$

Pro zobrazení $ \phi_A$ existuje určité schéma typu (118). Všimněme si, které jeho vektory leží v  Ker $ {}
\phi_A$: jsou to právě poslední (vpravo ležící) vektory všech řetězců. Jelikož všechny vektory v tomto schématu tvoří bázi {\bb R}$ ^4$ (každý vektor z  {\bb R}$ ^4$ lze zapsat jako lineární kombinaci těchto vektorů), tvoří poslední vektory všech řetězců v (118) bázi Ker $ {}
\phi_A$. Tedy pokud naopak zjistíme dimenzi Ker $ {}
\phi_A$, budeme vědět, kolik je těchto posledních vektorů. Jinak řečeno, $ \dim$   Ker $ {}
\phi_A$ udává počet všech řetězců.

Podobně bázi Ker $ {}(\phi_A)^2$ tvoří poslední a předposlední vektory všech řetězců. Tudíž $ \dim$Ker $ {}(\phi_A)^2-\dim$Ker $ {}
\phi_A$ udává počet řetězců délky alespoň dva. Všimněte si také, že dimenze kernelů mocnin $ \phi_A$ tvoří ostře rostoucí posloupnost až do $ \phi_A^{m}$, kde $ m$ je délka nejdelšího řetězce. Dimenze všech dalších kernelů jsou již stejné a jsou rovny počtu vektorů v celém schématu (dimenzi celého prostoru $ n$).

Dimenze kernelů $ \phi_A$, $ (\phi_A)^2$, $ \ldots$ můžeme určit v libovolné bázi. Zvolíme-li si kanonickou bázi, musíme spočítat $ A$, $ A^2$, $ \ldots$ a najít například hodnosti těchto matic ( $ \dim${\bb R}$ ^n=\dim$   Ker $ {}A^n+\dim\mathop{\rm Im}\nolimits A^n$). Pokud nebude hodnost matice (počet lineárně nezávislých řádků) vidět okamžitě, převedeme ji gaussovskou eliminací na horní trojúhelníkový tvar.

$\displaystyle A\stackrel{\longrightarrow}{\begin{array}{c}(1)+(2)\to(1')\cr (2)...
...n{array}{ccccccccccccc} 1&2&2&3\cr0&1&0&1\cr0&0&0&0\cr0&0&0&0\end{array}\right)$   \begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} h(A)=2\ \Rightarrow \hfill\cr\hskip1cm \dim\mbox{\rm Ker\,}{}\phi_A=4-2=2\,,\end{array}\end{displaymath}  
$\displaystyle A^2=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&2&2&3\cr-1&-2&-2&-3\cr-1&-2&-2&-3\cr1&2&2&3\end{array}\right)$   \begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} h(A^2)=1\ \Rightarrow \hfill \cr\hskip1cm \dim\mbox{\rm Ker\,}{}(\phi_A)^2=4-1=3\,,\end{array}\end{displaymath}  
$\displaystyle A^3=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&0&0&0\cr0&0&0&0\cr0&0&0&0\cr0&0&0&0\end{array}\right)$   \begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} h(A^3)=0\ \Rightarrow \hfill \cr\hskip1cm \dim\mbox{\rm Ker\,}{}(\phi_A)^3=4-0=4\,.\end{array}\end{displaymath}  

Výpočet $ A^3$ jsme si již mohli jistě ušetřit, neboť z  $ \dim$Ker $ {}
(\phi_A)^2<4$ plyne $ \dim$Ker $ {}(\phi_A)^3>\dim$Ker $ {}(\phi_A)^2$, a tedy zbývá pouze možnost $ \dim$Ker $ {}(\phi_A)^3=4$. Schéma (118) má tedy pro $ \phi_A$ tvar

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} \hfill (\vec{v}_1^{(1)}\equiv \v...
...ill(\vec{v}_1^{(2)}\equiv\vec{a}_2) \rightarrow 0\,,\end{array}\end{displaymath} (119)

máme dva řetězce, jeden délky $ k_1=3$ a jeden délky $ k_2=1$ a stupeň nilpotence $ \phi_A$ je tři ( $ \phi_A^3=0$). Všimněme si, že zatímco Hamilton-Cayleyova věta nám zaručuje, že $ \chi(A)=A^4=0$, mohou existovat i polynomy $ p$ nižšího stupně než $ \chi$, pro který $ p(A)=0$. Minimální polynom je ten z nich57, který má nejmenší stupeň. V našem případě je to $ p(x)=x^3$.

V bázi $ \vec{a}_1,\vec{a}_3,\vec{a}_4,\vec{a}_2$ má zobrazení $ \phi_A$ matici

$\displaystyle J_A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0&1&0&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr\end{array}\right)\,.
$