Rozklady grup, přímé a polopřímé součiny

Úkol:

  1. Uvažujme polopřímý součin dvou grup $ {\mbox{{\bb N}}},{\mbox{{\bb H}}}$ daný zobrazením (morfismem) $ f:{\mbox{{\bb H}}}\to\mathop{{\rm Aut}}({\mbox{{\bb N}}})$, $ {\mbox{{\bb G}}}={\mbox{{\bb N}}}\ltimes^f {\mbox{{\bb H}}}$. Ukažte, že $ {\mbox{{\bb N}}}$ je invariantní podgrupa $ {\mbox{{\bb G}}}$.

  2. Pro přímý součin $ {\mbox{{\bb G}}}={\mbox{{\bb N}}}\times {\mbox{{\bb H}}}$ ukažte, že $ {\mbox{{\bb N}}}$ i $ {\mbox{{\bb H}}}$ jsou invariantní podgrupy $ {\mbox{{\bb G}}}$.

  3. Nechť $ {\mbox{{\bb N}}},{\mbox{{\bb H}}}$ jsou disjunktní4 invariantní podgrupy $ {\mbox{{\bb G}}}$. Dokažte, že prvky $ {\mbox{{\bb N}}}$ a $ {\mbox{{\bb H}}}$ mezi sebou komutují (ačkoliv ani $ {\mbox{{\bb N}}}$ ani $ {\mbox{{\bb H}}}$ nemusí být komutativní).


Řešení:


1. Polopřímý součin5 dvou grup $ {\mbox{{\bb N}}},{\mbox{{\bb H}}}$ je grupa $ {\mbox{{\bb G}}}=\{(n,h)\vert\ n\in {\mbox{{\bb N}}},\,
h\in {\mbox{{\bb H}}}\}$ s operací definovanou $ (n_1,h_1)\ast(n_2,h_2)=(n_1\alpha_{h_1}^f(n_2),\allowbreak
h_1h_2)$. Potom je $ \widetilde{{\mbox{{\bb N}}}}=\{(n,1)\vert\ n\in {\mbox{{\bb N}}}\}$ podgrupou $ {\mbox{{\bb G}}}$, která je izomorfní s  $ {\mbox{{\bb N}}}$:

$\displaystyle n_1n_2=n\ \Rightarrow \ (n_1,1)\ast(n_2,1)=(n_1\alpha_{1}(n_2),1)=(n_1n_2,1). $

Využili jsme toho, že $ f$ je morfismus, tedy $ \alpha_1$ přiřadí jednotkovému prvku $ {\mbox{{\bb H}}}$ jednotkový prvek $ \mathop{{\rm Aut}}({\mbox{{\bb N}}})$, čili identitické zobrazení. Tím jsme ospravedlnili nonšalantní tvrzení6, že $ {\mbox{{\bb N}}}$ je podgrupou $ {\mbox{{\bb G}}}$.

Invariantnost dokážeme přímočaře. Zvolíme-li $ y=(a,b)\in {\mbox{{\bb G}}}$, pak můžeme z rovnice $ y^{-1}y=1$ vypočíst $ y^{-1}=(\alpha_{b^{-1}}^f(a^{-1}),b^{-1})$. Dále pak musí platit =0pt

$\displaystyle y^{-1}xy=\hspace{8.8cm}$      
$\displaystyle =\big(\alpha_{b^{-1}}^f(a^{-1}),b^{-1}\big)\ast(x,1)\ast(a,b)=
\big(\alpha_{b^{-1}}^f(a^{-1})\alpha_{b^{-1}}^f(x),b^{-1}\big)\ast\hspace{4mm}$      
$\displaystyle \ast(a,b)=
\big(\alpha_{b^{-1}}^f(a^{-1})\alpha_{b^{-1}}^f(x)\alp...
...1}}^f(a),1\big)=
\big(\alpha_{b^{-1}}^f(a^{-1}xa),1\big)\in {\mbox{{\bb N}}}\,.$      

Pokud bychom vzali $ z=(1,z)\in {\mbox{{\bb H}}}$ a počítali $ y^{-1}zy$, zjistili bychom

$\displaystyle y^{-1}zy=\big(\alpha_{b^{-1}}^f(a^{-1})\alpha_{b^{-1}x}^f(a),b^{-1}xb\big)
\notin {\mbox{{\bb H}}}\mbox{ obecně}. $

$ {\mbox{{\bb H}}}$ tedy nemusí být obecně invariantní podgrupa.


2. Přímý součin je speciální případ polopřímého součinu, kdy $ f:
x\mapsto \mathop{{\rm Id}}_{{\mbox{{\bb N}}}}$, $ \forall x\in {\mbox{{\bb H}}}$. To lze říct i tak, že je to opět kartézský součin množin $ {\mbox{{\bb N}}}$ a $ {\mbox{{\bb H}}}$ s operací $ (n_1,h_1)\ast(n_2,h_2)=
(n_1n_2,h_1h_2)$. Můžeme se proto odvolat na předchozí výpočty, z čehož plyne, že tentokrát je i $ {\mbox{{\bb H}}}$ normální podgrupa, jelikož $ \alpha_{b^{-1}}^f(a^{-1})\alpha_{b^{-1}x}^f(a)=\mathop{{\rm Id}}_{{\mbox{{\bb N}}}}
(a^{-1})\mathop{{\rm Id}}_{{\mbox{{\bb N}}}} {(a)=1}$.

Důkaz se ale také jednoduše provede přímo. Například

$\displaystyle y^{-1}zy=(a^{-1},b^{-1})*(1,z)*(a,b)=(a^{-1}a,b^{-1}zb)=(1,b^{-1}zb)\in
{\mbox{{\bb H}}}. $


3. Vezmeme dva libovolné prvky $ n\in {\mbox{{\bb N}}}$ a $ h\in {\mbox{{\bb H}}}$. Díky invarianci $ {\mbox{{\bb N}}}$ a $ {\mbox{{\bb H}}}$ $ {\mbox{{\bb G}}}$ musí platit $ h^{-1}nh=n_1\in {\mbox{{\bb N}}}$ a $ n^{-1}hn=h_1\in
{\mbox{{\bb H}}}$. Z první rovnice vyjádříme například $ n^{-1}h=hn_1^{-1}$ a dosadíme do druhé rovnice:

$\displaystyle hn_1^{-1}n=h_1\ \Rightarrow \ n_1^{-1}n=h^{-1}h_1.$

Na levé straně poslední rovnice je prvek z  $ {\mbox{{\bb N}}}$, na pravé straně prvek z  $ {\mbox{{\bb H}}}$. Jelikož jsou tyto množiny disjunktní až na jednotkový prvek, musí být $ n_1^{-1}n=1$ a $ h^{-1}h_1=1$. Není tedy rozdílu mezi $ n$ a $ n_1$ a první vztah $ h^{-1}nh=n$ dokazuje nyní komutativitu $ hn=nh$.


Poučení z tohoto příkladu je následující. Chceme-li grupu $ {\mbox{{\bb G}}}$ zapsat jako součin dvou svých podgrup $ {\mbox{{\bb N}}}$ a $ {\mbox{{\bb H}}}$, musí být předně $ {\mbox{{\bb G}}}={\mbox{{\bb N}}}.{\mbox{{\bb H}}}$ (ve smyslu, že každý prvek $ g\in{\mbox{{\bb G}}}$ lze jednoznačně rozložit na $ g=nh$, kde $ n\in {\mbox{{\bb N}}}$ a $ h\in {\mbox{{\bb H}}}$). Abychom mohli rozložit i grupovou operaci na $ {\mbox{{\bb G}}}$, musí být alespoň jedna z podgrup invariantní. Pokud jsou invariantní obě dvě, lze zapsat $ {\mbox{{\bb G}}}$ jako jejich přímý součin, jinak musíme použít polopřímý součin.

Vzhledem k tomu, že $ {\mbox{{\bb N}}}$ je invariantní, lze provést rozklad $ {\mbox{{\bb G}}}/{\mbox{{\bb N}}}$ a tento musí být izomorfní s  $ {\mbox{{\bb H}}}$ (to je právě rozklad $ g=nh$). Z toho plyne, že $ {\mbox{{\bb N}}}$ a $ {\mbox{{\bb H}}}$ jsou disjunktní až na jednotkový prvek a musí platit $ \vert{\mbox{{\bb N}}}\vert\vert{\mbox{{\bb H}}}\vert=\vert{\mbox{{\bb G}}}\vert$.

Postup při rozkladu $ {\mbox{{\bb G}}}$ tedy je najít dvě ,,disjunktní'' podgrupy, součin jejichž řádů je roven řádu $ {\mbox{{\bb G}}}$, ověřit, zda platí7 $ {\mbox{{\bb G}}}={\mbox{{\bb N}}}.{\mbox{{\bb H}}}$, a zjistit, zda jsou obě invariantní. Pokud je jenom jedna (viz příklad 2.1), lze použít polopřímý součin s  $ f:h\mapsto\alpha_h^f(n)=h^{-1}nh$, pokud žádná, musíme najít jiné podgrupy. Skutečnost, že podgrupy spolu navzájem nekomutují, nás varuje, že tyto grupy nemohou být obě invariantní.

$ \ast$KV$ \ast$