Nalezení Jordanovy báze pro $ \phi_A$

Abychom mohli zapsat $ A$ jako $ QJ_AQ^{-1}$, musíme určit vektory v schématu (119) vzhledem ke kanonické bázi. Místo zobrazení $ \phi_A$ tedy budeme dále pracovat s maticí $ A$.

Zaručený způsob pro obecnou nilpotentní matici $ N$ typu $ n\times n$ je následující:

1'.
Určíme nějakou bázi $ \mathop{\rm Im}\nolimits N^{m-1}$, kde $ m$ je stupeň nilpotence $ N$. To jsou koncové vektory všech nejdelších řetězců (tedy řetězců délky $ m-1$) -- představte si $ N^{m-1}\vec{x}$, kde $ \vec{x}$ je obecný vektor zapsaný v bázi (118).

2'.
Tyto koncové vektory doplníme na celé řetězce, tedy řešíme soustavy typu $ N\vec{v}_{k_1-1}^{(1)}=\vec{v}_{k_1}^{(1)}$. Přitom máme na paměti, že z lineární nezávislosti koncových vektorů, které jsme určili v bodě 1', plyne nezávislost celých řetězců.

3'.
Bázi $ \mathop{\rm Im}\nolimits N^{m-1}$ doplníme na bázi $ \mathop{\rm Im}\nolimits N^{m-2}\cap$   Ker $ {}
N$. Tyto nové vektory jsou koncové vektory všech řetězců délky $ m-2$ (představa je podobná jako v bodu 1').

4'.
Nové koncové vektory doplníme na celé řetězce.

5'.
Doplňujeme vždy bázi $ \mathop{\rm Im}\nolimits N^{l}\cap$   Ker $ {}
N$ na bázi $ \mathop{\rm Im}\nolimits
N^{l-1}\cap$   Ker $ {}
N$ a tyto nové vektory rozšíříme na celé řetězce. Skončíme u $ l=1$.

(0.35,4cm)[r] =1mm \includegraphics[scale=0.3]{OBRAZKY/jordbaze2.eps} (-13,34.5)1'.(-13,25)2'. (-13,15.5)3'.(-13,6)4'.\includegraphics[scale=0.3]{OBRAZKY/jordbaze1.eps} (-13,34.5)$ 1.$(-13,25)$ 2.$ (-13,15.5)$ 3.$(-13,6)$ 4.$

Uvedený způsob je značně zdlouhavý, neboť hledání vzorů je nepoměrně náročnější než hledání obrazů. Jeho význam spočívá v tom, že představuje zaručenou cestu jak hledané vektory najít a slouží při důkazu věty o struktuře nilpotentního zobrazení. Pro praktický výpočet použijeme jiný postup: řetězce budeme tvořit od levého konce58. Pro větší názornost jsou oba postupy naznačeny na obrázku vpravo: Jordanova báze se v tomto příkladě skládá ze dvou řetězců délky pět, jednoho řetězce délky čtyři a jednoho délky jedna. Vektory, které jsme v daném kroku našli, jsou značeny vyšrafovaným políčkem, vektory, které jsou známy z předchozích kroků, jsou značeny šedými políčky.

  1. Najdeme $ \dim$Ker $ {}N^{m}-\dim$Ker $ {}N^{m-1}$ nezávislých vektorů v  Ker $ {}N^{m}\setminus$Ker $ {}N^{m-1}$. To budou levé koncové vektory všech nejdelších řetězců (délky $ m$).
  2. Dopočítáme celé řetězce (opakovaně násobíme koncový vektor maticí $ N$). Pokud jsou tyto řetězce závislé (to poznáme na pravých koncových vektorech), musíme zvolit v bodu 1 vektory jinak a zkusit to znovu.
  3. Z řetězců, které jsme spočítali, vybereme vektory, které nejsou Ker $ {}N^{m-2}$ (na obrázku výše jsou to zakřížkovaná políčka). Pokud je těchto vektorů méně než $ \dim$Ker $ {}N^{m}-\dim$Ker $ {}N^{m-2}$, doplníme je vektory z  Ker $ {}N^{m}\setminus$Ker $ {}N^{m-2}$ na tento počet a dbáme, aby celá množina byla lineárně nezávislá. Nové vektory jsou počáteční vektory řetězců délky $ m-1$.
  4. K novým vektorům (počátečním vektorům řetězců délky $ m-1$) dopočítáme řetězce. Pokud budou vektory na pravých koncích všech doposud spočítaných řetězců závislé, musíme bod 3 opakovat (doplnit vektory jinak).
  5. Pokračujeme (opakujeme body 3 a 4), až získáme $ n$ lineárně nezávislých vektorů, tedy bázi celého Ker $ {}N^m=${\bb R}$ ^n$.

Jak dopadne tento postup z našem případě? Nejdelší řetězec má délku $ m=3$, hledáme tedy nejprve59 $ 4-3=1$ vektor z  Ker $ {}A^3\setminus$   Ker $ {}
A^2$. Zvolíme například náhodně $ \vec{a}_4=(1,0,0,0)^T\in$Ker $ {}A^3=${\bb R}$ ^4$ a jelikož $ A^2\vec{a}_4=(1,-1,-1,1)^T\not=0$, je tato volba možná (bod 1). Tento vektor doplníme na celý řetězec: $ \vec{a}_3=A\vec{a}_4=(2,-1,0,0)^T$ a $ \vec{a}_1=A\vec{a}_3=(1,-1,-1,1)^T$. Jelikož je řetězec jen jeden, problémy s ověřováním lineární nezávislosti nejsou (bod 2). V schématu žádné řetězce délky dva nejsou, tedy body 3 a 4 odpadají; podrobněji: ze spočítaného řetězce vybereme vektory $ \vec{a}_4,\vec{a}_4$ ($ \vec{a}_1$ leží v  Ker $ {}A^1$) a zjistíme, že je jich skutečně $ \dim$Ker $ {}A^3-\dim$Ker $ {}A^1=2$ (bod 3).

Konečně (bod 5, nebo taky opakovaný bod 3) potřebujeme doplnit řetězec $ \vec{a}_4\to\vec{a}_3\to \vec{a}_1\to 0$ počátečními vektory všech řetězců délky jedna, a to tak, aby byly všechny vektory nezávislé (opakovaný bod 4). Stačí tedy nalézt libovolný vektor z  Ker $ {}A$ lineárně nezávislý na $ \vec{a}_1$. Buď můžeme vyřešit soustavu $ A\vec{a}_2=0$

\begin{displaymath}\left(
\begin{array}{rrrr}2&3&4&5\\ -1&-1&-2&-2\\ 0&1&0&1\\ 0...
...in{array}{ccccccccccccc} 0\cr 0\cr 0\cr 0\end{array}\right)\,,
\end{displaymath}

a vybrat vhodné řešení (tedy řešení nezávislé na $ \vec{a}_1$), nebo můžeme vektor elegantně uhodnout. V našem případě se nabízí vektor $ \vec{a}_2=(-1,-1,0,1)^T$.

Vektory $ \vec{a}_1,\vec{a}_3,\vec{a}_4,\vec{a}_2$ zapíšeme do sloupců matice $ Q$ (viz příklad 4.9 či 15.4), a tedy pro

$\displaystyle Q=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} \vphantom{\vcenter to1cm{}}\...
...cccccccccc} 1&2&1&-1\cr -1&-1&0&-1\cr -1&0&0&0\cr 1&0&0&1\cr\end{array}\right)
$

bude platit $ A=QJ_AQ^{-1}$.

$ \ast$PK,KV$ \ast$