Jordanův tvar poprvé

Úkol: Najdete Jordanuv tvar matice

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rcc}
0 & 1 & 0 \\
-4 & 4 & 0 \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right)
\end{displaymath}

a matici $ C$, která prevádí $ A$ na Jordanuv tvar $ J_A$.


Řešení: Abychom zjistili, jaký je Jordanův tvar matice $ A$, potřebujeme nejdříve najít vlastní čísla $ A$. Vlastní čísla jsou kořeny charakteristické rovnice:

to $ \ds
\mathop{\rm det}\nolimits \left(A - \lambda \mathbbm{1}\right)=\mathop{\r...
... & 0 \\
-4 & 4- \lambda & 0 \\
-2 & 1 & 2- \lambda
\end{array} \right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle =\left(-1 \right)^{3+3}\left( 2- \lambda \right)\mathop{\rm det}\...
...\left( \begin{array}{cc}
-\lambda & 1 \\
-4 & 4 - \lambda
\end{array}\right)=
$

to $ \hfill\ds
=\left(2 -\lambda \right)\big( \left(\lambda - 4\right)\lambda + 4 \big)=- \left( \lambda - 2\right)^3\,.$$\displaystyle \hss
$

Našli jsme trojnásobné vlastní číslo $ \lambda_{1,2,3}=2$. Na diagonále $ J_A$ bude proto všude číslo $ 2$.

\begin{displaymath}
J_A=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & \diamond & 0 \\
0 & 2 & \diamond \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right),
\end{displaymath}

kde místo každého ze symbolů $ \diamond$ můze být buď jednička nebo nula. Všimněme si, že oba prvky $ \diamond$ nemohou být nula, protože pak by byla $ J_A$ násobkem $ \mathbbm{1}$, a tedy $ QJ_AQ^{-1}=J_A$, což není totéž co $ A$. Abychom rozhodli otázku, co napsat za $ \diamond$, prozkoumáme strukturu kořenového podprostoru.

Matice $ A-2\mathbbm{1}$ má jediné vlastní číslo a to nulu, a tudíž je nilpotentní. Můžeme na ní tedy použít celý aparát popsaný v příkladu 15.3. Budeme tedy zkoumat prostory Ker $ {}(A-\lambda\mathbbm{1})^j\df=$   Ker $ {}_\lambda^j$, přičemž $ \lambda=2$. Připomínáme, že platí

$\displaystyle 0<\dim$   Ker $\displaystyle {}_\lambda^1 < \cdots < \dim$   Ker $\displaystyle {}_\lambda^m=\dim$   Ker $\displaystyle {}_\lambda^{m+1}=\ldots\,,$ (120)

kde $ m$ je délka nejdelšího řetězce Jordanovy báze. Prostor Ker $ {}_\lambda^m=$Ker $ {}_\lambda^{m+1}=\ldots$ nazýváme kořenovým prostorem vlastního čísla $ \lambda$ (značíme Ker $ {}_\lambda$) a jeho dimenze je obecně60 rovna násobnosti tohoto vlastního čísla (toto tvrzení z příkladu 15.3 přímo neplyne; zmíníme se o něm v příkladu 15.8). V případě jediného vlastního čísla je tedy dimenze kořenového prostoru rovna dimenzi celého prostoru (toto již z 15.3 plyne).

Víme, ze $ \dim$   Ker $ {}_\lambda^i = n - h [\left(A- \lambda \mathbbm{1}
\right)^i]$, kde $ n$ je rozměr matice $ A$. Spočtěme tedy

$\displaystyle \left(A- 2\mathbbm{1}\right)= \left(\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 0 \\
-4 & 2 & 0 \\
-2 & 1 & 0
\end{array} \right)$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \dim$   Ker $\displaystyle {}_2^1=3-1=2$  
$\displaystyle \left(A- 2\mathbbm{1}\right)^2= \left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array} \right)$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \dim$   Ker $\displaystyle {}_2^2=3-0=3$  

Výpočet $ \dim$Ker $ {}\left( A- 2\mathbbm{1}\right)^2$ jsme si mohli klidně ušetřit, protoze pokud jsme zjistili, ze $ \dim$   Ker $ {}_2^1=2<3$, pak musí být v souladu s (120) $ \dim$Ker $ {}_2^1<\dim$Ker $ {}_2^2$, a tedy nutně $ \dim$   Ker $ {}_2^2=3$.

Nyní jiz známe dimenze Ker $ {}_\lambda^i$ a můzeme určit schéma Jordanovy báze, tedy schéma typu (118). Z  $ \dim$Ker $ {}_2^1=2$ plyne, že existují dva řetězce. Jeden tedy musí mít délku jedna a jeden délku dva (aby byl součet délek tři). Lze to také vydedukovat z toho, že $ \dim$   Ker $ {}_2^2- \dim$Ker $ {}_2^1=1$, neboli existuje jeden řetězec délky aspoň dva.

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} \vec{v}\stackrel{A-2\mathbbm{1}}...
...{\to} 0\cr \vec{u}\stackrel{A-2\mathbbm{1}}{\to} 0\,\end{array}\end{displaymath} (121)

a Jordanův tvar matice $ A$ (tedy matice zobrazení61 $ \phi_A$ v bázi $ \{(A-2\mathbbm{1})\vec{v},\vec{v},\vec{u}\}$) je následující

\begin{displaymath}
J_A=J_{A-2\mathbbm{1}}+J_{2\mathbbm{1}}=J_{A-2\mathbbm{1}}+2...
...ccc}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Při úpravách na začátku jsme využili $ J_A=CAC^{-1}$, $ C(X+Y)C^{-1}=CXC^{-1}+CYC^{-1}$ a $ C\mathbbm{1}C^{-1}=\mathbbm{1}$.

Zbývá najít matici $ C$, která převádí matici $ A$ na Jordanův tvar $ J_A$, neboli matici splňující $ J_A=C^{-1}A C$. Matice $ C$ tedy musí vektor ve složkách vůči Jordanově bázi převést na vektor ve složkách vůči kanonické bázi. Ve sloupcích matice $ C$ tedy budou postupně vektory $ \left(A-2\mathbbm{1}\right)\vec{v}$, $ \vec{v}$ a $ \vec{u}$tomto pořadí (viz příklad 4.9).

Najděme konkrétní vektory $ \vec{v}$ a $ \vec{u}$ pro schéma (121). Jinak: hledáme vektor $ \vec{u}$, který je po prvním násobení maticí $ \left(A-2\mathbbm{1}\right)$ roven nulovému vektoru a vektor $ \vec{v}$, který je po prvním násobení touto maticí různý od nulového vektoru. Přitom musí být vektory $ \vec{u}$ a $ \left(A-2\mathbbm{1}\right)\vec{v}$ lineárně nezávislé.

Za vektor $ \vec{v}$ vybereme třeba $ (0,0,1)^T$ a ověříme, zda $ \left(A-2\mathbbm{1}\right)\vec{v} \not = 0$. Bohuzel jsme vybrali špatný vektor, protoze tato podmínka není splněna. Nevadí, zkusme zvolit $ \vec{v}=(0,1,0)^T$. Nyní je $ \left(A-2\mathbbm{1}\right)\vec{v}
=(1,2,1)^T$, coz nám jiz vyhovuje. Vektor $ \vec{u}$ vybereme jako řešení rovnice $ \left(A-2\mathbbm{1}\right)\vec{u}=0$ a dáváme jen pozor, abychom nevybrali nějaký násobek $ \left(A-2\mathbbm{1}\right)\vec{v}$; můžeme vzít například $ \vec{u}=(1,2,0)^T$. Můžeme tedy napsat celou matici $ C$ a s ohledem na milovníky násobení matic, kteří si budou chtít ověřit $ CJ_AC^{-1}=A$, ji uvádíme i s její inverzí

\begin{displaymath}
C=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 2 \\
1 &...
...}
0 & 0 & 1 \\
-2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -1
\end{array}\right).
\end{displaymath}

$ \ast$VP$ \ast$