Jordanův tvar podruhé

Úkol: Najdete Jordanuv tvar matice

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rcr}
1 & -3 & 3 \\
-2 & -6 & 13 \\
-1 & -4 & 8
\end{array}\right)
\end{displaymath}

a matici $ C$, která prevádí $ A$ na Jordanuv tvar $ J_A$.


Řešení: Spočítáme vlastní čísla matice $ A$. Charakteristická rovnice je

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits \left(A - \lambda \mathbbm{1}\right)=\m...
...3 \\
-1 & -4 & 8- \lambda
\end{array} \right)=
- \left( \lambda -1 \right)^3.
$

Máme trojnásobné vlastní číslo $ \lambda_{1,2,3}=1$, coz znamená, ze Jordanuv tvar matice $ A$ bude

\begin{displaymath}
J_A=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \diamond & 0 \\
0 & 1 & \diamond \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{displaymath}

kde každý symbol $ \diamond$ můze být jednička nebo nula. Co máme napsat nad diagonálu, budeme vědět, az zjistíme, jaká je struktura kořenového podprostoru.

$\displaystyle h \left(A-\mathbbm{1}\right)=\dim \left( \begin{array}{ccc}
0 & -...
...3 \\
-2 & -7 & 13 \\
-1 & -4 & 7
\end{array} \right)=2
\ \ \Rightarrow \ \dim$   Ker $\displaystyle {}_1^1=3-2=1\,.
$

Hodnost matice $ A-\mathbbm{1}$ jsme zkušeně odhadli: nemůže být tři, neboť $ \mathop{\rm det}\nolimits (A-\mathbbm{1})=0$, ale nemůže být také jedna, neboť to by musely být všechny řádky násobkem jednoho, což nejsou. Jinak můžeme samozřejmě matici také gaussovsky eliminovat. Dále prozkoumáme $ (A-\mathbbm{1})^2$.

$\displaystyle \dim \left(A-\mathbbm{1}\right)^2=\dim \left( \begin{array}{ccc}
...
... -18 \\
1 & 3 & -6 \\
1 & 3 & -6
\end{array} \right)=1
\ \ \Rightarrow \ \dim$   Ker $\displaystyle {}_1^2=3-1=2
$

I zde jsme mohli postupovat rychleji, bez počítání celé matice $ (A-\mathbbm{1})^2$. Podle (120) musí být $ \dim$Ker $ {}_1^2>\dim$Ker $ {}_1^1$, tedy $ h\big((A-\mathbbm{1})^2\big)<h(A-\mathbbm{1})$, čili $ h\big((A-\mathbbm{1})^2\big)$ je buď jedna nebo nula. Začneme-li počítat matici $ (A-\mathbbm{1})^2$ a zjistíme-li, že už prvek v jejím levém horním rohu je nenulový, musí být nutně $ h\big((A-\mathbbm{1})^2\big)=1$.

Vzhledem k (120) je nyní jisté, ze bude $ \dim$   Ker $ {}_1^3=3$. Jordanovu bázi proto můžeme schématicky zapsat

$\displaystyle \vec{v}\stackrel{A-\mathbbm{1}}{\to} (A-\mathbbm{1})\vec{v}\stack...
...A-\mathbbm{1}}{\to}
(A-\mathbbm{1})^2\vec{v}\stackrel{A-\mathbbm{1}}{\to} 0\,.
$

Připomínáme, ze i v tomto (jednořádkovém) schématu je v prvním sloupci vpravo $ \dim$   Ker $ {}_1^1=1$ vektor, ve druhém sloupci zprava je $ \dim$   Ker $ {}_1^2- \dim$   Ker $ {}_1^1=1$ vektor a konečně ve sloupci nejvíce vlevo je také $ \dim$   Ker $ {}_1^3-\dim$   Ker $ {}_1^2=1$ vektor.

V tabulce je jeden řetězec délky tři, a proto je Jordanův tvar matice $ A$

\begin{displaymath}
J_A=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Matice $ C$ bude mít ve sloupcích vektory $ \left(A-\mathbbm{1}\right)^2
\vec{v}$, $ \left(A-\mathbbm{1}\right)^1 \vec{v}$ a $ \vec{v}$, přičemž vektor $ \vec{v}$ musí být z  Ker $ {}_1^3\setminus$Ker $ {}_1^2$. Zvolíme jej proto libovolně z  {\bb R}$ ^3=$Ker $ {}_1^3$ a zkontrolujeme, zda $ (A-\mathbbm{1})^2\vec{v}\not=0$. Zkusme to třeba s  $ \vec{v}=(1,0,0)^T$: snadno dopočítáme $ (A-\mathbbm{1})\vec{v}=(0,-2,-1)^T$ a $ (A-\mathbbm{1})^2\vec{v}=(A-\mathbbm{1})(0,-2,-1)^T=(3,1,1)^T$ a vidíme, že jsme zvolili správně. Pro matici $ C$ a $ C^{-1}$ (inverzi uvádíme pouze pro kontrolu) pak máme

\begin{displaymath}
C=
\left(
\begin{array}{crc}
3 & 0 & 1 \\
1 & -2 & 0 \\
1 ...
...
0 & -1 & 2 \\
0 & -1 & 1 \\
1 & 3 & -6
\end{array}\right).
\end{displaymath}

$ \ast$VP$ \ast$