Jordanův tvar potřetí

Úkol: Najdete Jordanuv tvar matice

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rcrc}
1 & -3 &\ 0 & 3 \\
-2 & -6 & 0 & 13 \\
0 & -3 & 1 & 3 \\
-1 & -4 & 0 & 8
\end{array}\right)
\end{displaymath}

a matici $ C$, která prevádí $ A$ na Jordanuv tvar $ J_A$.


Řešení: Charakteristická rovnice matice $ A$ je

   to $ \ds
\mathop{\rm det}\nolimits \left(A - \lambda\mathbbm{1}\right)=\mathop{\rm...
...
0 & -3 & 1- \lambda & 3 \\
-1 & -4 & 0 &8- \lambda
\end{array} \right)=\hfill$$\displaystyle \hss
$

   to $ \hfill\ds
=\left(-1 \right)^{3+3}\left( 1- \lambda\right) \mathop{\rm det}\no...
... 13 \\
-1 & -4 & 8- \lambda
\end{array}\right)=
\left(\lambda - 1 \right)^4\,.$$\displaystyle \hss
$

Matice $ A$ má čtyřnásobné vlastní číslo $ \lambda_{1,2,3,4}=1$. Dimenze Ker $ {}_\lambda^j$ jsou

$\displaystyle h \left( A- \mathbbm{1}\right)=h \left( \begin{array}{rrrr}
0 & -...
...
0 & -3 & 0 & 3 \\
-1 & -4 & 0 & 7
\end{array}\right)=2
\ \ \Rightarrow \ \dim$   Ker $\displaystyle {}_1^1=4-2=2
$

$\displaystyle h\big( \left( A- \mathbbm{1}\right)^2)=h \left( \begin{array}{rrr...
...\
3 & 9 & 0 & -18 \\
1 & 3 & 0 & -6
\end{array}\right)=1
\ \Rightarrow \ \dim$   Ker $\displaystyle {}_1^2=4-1=3
$

Podobně jako v příkladu 15.5 nám stačilo při počítání $ (A-\mathbbm{1})^2$ najít jediný nenulový element, abychom mohli s jistotou říci, že je hodnost této matice jedna.

Dimenze posledního podprostoru Ker $ {}_1^3$ je automaticky rovna čtyřem a Jordanova báze má strukturu

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} \vec{v}\stackrel{A-\mathbbm{1}}{...
...}{\to}0 \cr \vec{u}\stackrel{A-\mathbbm{1}}{\to}0\,.\end{array}\end{displaymath} (122)

Vidíme tedy jeden řetězec délky tři a jeden řetězec délky jedna. Jordanův tvar matice $ A$ je proto

\begin{displaymath}
J_A=
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

a zbývá naplnit strukturní tabulku (122) odpovídajícími vektory, abychom mohli sestavit matici $ C$.

Matice $ C$ bude mít ve sloupcích po řadě vektory $ \left(A-\mathbbm{1}\right)^2
\vec{v}$, $ \left(A-\mathbbm{1}\right)^1 \vec{v}$, $ \vec{v}$ a $ \vec{u}$. Vektor $ \vec{v}$ zvolíme libovolně z  Ker $ {}_1^3$, musí ale splňovat podmínku $ \left( A-\mathbbm{1}\right)^2 \vec{v} \not = 0$. Vektor $ \vec{u}$ je třeba vybrat tak, aby $ \left(A- \mathbbm{1}\right)\vec{u}=0$ a aby byl nezávislý na $ (A-\mathbbm{1})^2\vec{v}$.

Zvolíme-li například $ \vec{v}=(1,0,0,0)^T$, zjistíme, že $ (A-\mathbbm{1})
\vec{v}=(0,-2,0,-1)^T$ a $ (A-\mathbbm{1})^2\vec{v}=(3,1,3,1)^T\not=0$, jak má být. Pak už jen najdeme druhý vlastní vektor matice $ A$, který není násobkem $ (3,1,3,1)^T$, například $ \vec{u}=(3,1,0,1)^T$, a jsme hotovi. Matice $ C$ a matice $ C^{-1}$ k ní inverzní jsou

\begin{displaymath}
C=
\left(
\begin{array}{cccc}
3 & 0 & 1 & 3 \\
1 & -2 & 0 &...
...& 3 & 0 & -6 \\
0 & -1 & -\frac{1}{3} & 2
\end{array}\right).
\end{displaymath}

$ \ast$VP$ \ast$