Jordanův tvar počtvrté

Úkol: Najdete Jordanuv tvar matice

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{cccc}
3 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 5 & -3 \\
4 & -1 & 3 & -1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

a matici $ C$, která ji prevádí na Jordanuv tvar $ J_A$.


Řešení: Při určování charakteristického polynomu matice $ A$ využijeme toho, že je v blokově dolním trojúhelníkovém tvaru (viz příklad 9.5c).

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits \left(A - \lambda\mathbbm{1}\right)=\ma...
...0 \\
3 & 0 & 5- \lambda & -3 \\
4 & -1 & 3 &-1- \lambda
\end{array} \right)=
$

$\displaystyle =\mathop{\rm det}\nolimits \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 3-\...
...ccccccccccc} 5-\lambda& -3\cr 3 &-1-\lambda\end{array}\right)=(\lambda-2)^4\,.
$

Máme tedy čtyřnásobné vlastní číslo $ \lambda_{1,2,3,4}=2$ a musíme zkoumat strukturu kořenového podprostoru Ker $ {}_2$. Dimenze jednotlivých podprostorů Ker $ {}_2^i$ jsou po řadě

$\displaystyle h \left( A- 2\mathbbm{1}\right)=h \left( \begin{array}{cccc}
1 & ...
...
3 & 0 & 3 & -3 \\
4 & -1 & 3 & -3
\end{array}\right)=2
\ \ \Rightarrow \ \dim$   Ker $\displaystyle {}_2^1=4-2=2
$

$\displaystyle h\big(\left( A- 2\mathbbm{1}\right)^2)= h \left( \begin{array}{cc...
...\\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)=0
\ \ \Rightarrow \ \dim$   Ker $\displaystyle {}_2^2=4-0=4
$

a struktura Jordanovy báze je tedy

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} \vec{v}\stackrel{A-2\mathbbm{1}}...
...athbbm{1})\vec{u}\stackrel{A-2\mathbbm{1}}{\to} 0\,.\end{array}\end{displaymath} (123)

V této tabulce jsou dva řetězce délky dva, neboli Jordanův tvar matice $ A$ je

\begin{displaymath}
J_A=
\left(
\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)
\end{displaymath}

Zbývá osadit tabulku (123) konkrétními vektory, abychom zjistili, jak bude vypadat transformační matice $ C$. Za vektory $ \vec{v}$, $ \vec{u}$ můzeme zvolit dva libovolné prvky z  Ker $ {}_2^2\setminus$   Ker $ {}_2^1$, opět zvolíme dva jakékoliv vektory z  {\bb R}$ ^4$ a ověříme, že se maticí $ (A-2\mathbbm{1})$ nezobrazí na nulu. V tomto případě ale ještě nemáme vyhráno: musíme také hlídat, aby nebyly vektory $ (A-2\mathbbm{1})\vec{v}$, $ (A-2\mathbbm{1})\vec{u}$ závislé (viz bod 2 v postupu pro hledání vektorů Jordanovy báze, příklad 15.3). To se přesně stane například pro $ \vec{v}=(0,0,0,1)^T$ a $ \vec{u}=(0,0,1,0)^T$. Zvolíme proto jiné dva vektory, například $ \vec{v}=(0,1,0,0)^T$ a $ \vec{u}=(0,0,1,0)^T$, napíšeme $ (A-2\mathbbm{1})\vec{v},\vec{v},(A-2\mathbbm{1})\vec{u},\vec{u}$ do sloupců matice $ C$ a pustíme se do dalšího příkladu.

\begin{displaymath}
C=
\left(
\begin{array}{rrrr}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 ...
...3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\
1 & 0 & 1 & -1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

$ \ast$VP$ \ast$