Variace na kreační operátory

Úkol: Na prostoru všech analytických funkcí $ f:${\bb R}$ \to${\bb C} uvažujte operátory závislé na jednom parametru $ n=0,1,2,\dots$ (hamiltoniány částice na přímce s různě hlubokou hladkou jamkou63)

$\displaystyle \widehat{H}_n = -\frac{1}{2}\frac{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits \,^2}{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x^2}- \frac{n(n+1)}{2\cosh^2 x}, \qquad x\in$   {\bb R}$\displaystyle .$ (132)

a)
Nalezněte nejmenší vlastní číslo $ \widehat{H}_n$ a odpovídající vlastní funkci (nazývané ,,základní stav''). Vlastní funkci nemusíte normalizovat.

b)
Ukažte, že $ \widehat{H}_n$ má přesně $ n$ normalizovatelných vlastních funkcí (v řeči fyziků ,,vázaných stavů'') a vypočtěte jejich energie (vlastní čísla $ \widehat{H}_n$). Můžete použít tvrzení, že vlastní stav tohoto hamiltoniánu je normalizovatelný, resp. nenormalizovatelný, pokud je jeho energie záporná, resp. kladná.

c)
Dokažte, že $ \widehat{H}_n$ má (nenormalizovatelné) vlastní funkce, které se chovají jako $ c\exp(ipx)$ jak pro $ x\to\infty$, tak pro $ x\to -\infty$ pro libovolné $ p\in$   {\bb R}. Ve fyzikální řeči tím dokážete, že koeficient odrazu je nulový.

Rada: Definujte tzv. anihilační operátor

$\displaystyle \widehat{A}_n=\frac{1}{\sqrt2}\left[\frac{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits }{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x}+n\tanh(x)\right]$ (133)

a nalezněte vztah mezi $ \widehat{A}_n\widehat{A}^\dagger_n$, $ \widehat{A}^\dagger_n\widehat{A}_n$ a $ \widehat{H}_n$, kde $ \dagger$ znamená hermitovské sdružení (viz níže). Ukažte, že působením operátoru $ \widehat{A}^\dagger_p$ na vlastní stav operátoru $ \widehat{H}_q$ lze dostat vlastní stav $ \widehat{H}_r$, kde $ p,q,r$ jsou vhodná čísla.

V příkladu budeme používat pro vektory Diracovu notaci.


Řešení: a) Uvědomme si nejdříve, že sdružený operátor64 $ \widehat{A}^\dagger_n$ (tzv. kreační operátor) má tvar

$\displaystyle \widehat{A}^\dagger_n=\frac{1}{\sqrt 2}\left[-\frac{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits }{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x} +n\tanh x\right]$ (134)

a spočtěme nejprve součin $ \widehat{A}_n\widehat{A}^\dagger_n$. Roznásobením dostaneme (s pomocí $ \sinh^2x=\cosh^2x-1$)

$\displaystyle \widehat{A}_n\widehat{A}^\dagger_n=-\frac{1}{2}\frac{\mathop{{\rm...
...}{\cosh^2 x}+\frac{n}{2} \frac{1}{\cosh^2 x}=\widehat{H}_{n-1}+\frac{n^2}{2}\,,$    

kde člen úměrný $ 1/ \cosh^2 x$ vznikl z komutátoru $ \mathop{{\rm d}\!}\nolimits /\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x$ a $ \tanh x$, obecněji také platí $ [\mathop{{\rm d}\!}\nolimits /\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x,f(x)]\equiv
(\math...
...its x)f(x)-f(x)\mathop{{\rm d}\!}\nolimits /\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x=f'(x)$. Zcela analogicky

$\displaystyle \widehat{A}^\dagger_n\widehat{A}_n=-\frac{1}{2}\frac{\mathop{{\rm...
... x}{\cosh^2 x}-\frac{n}{2} \frac{1}{\cosh^2 x}=\widehat{H}_{n}+\frac{n^2}{2}\,.$ (135)

Základní stav $ \widehat{H}_n$ je tedy i základním stavem $ \widehat{A}^\dagger_n\widehat{A}_n$. Vlastní čísla $ \widehat{A}^\dagger_n\widehat{A}_n$ jsou nezáporná, to plyne z  $ \langle\psi\vert \widehat{A}^\dagger_n\widehat{A}_n\vert\psi\rangle =\vert\widehat{A}_n\vert\psi\rangle \vert^2\geq 0$, a ukážeme, že je mezi nimi nula: příslušný vlastní stav musí splňovat $ \widehat{A}_n\vert\psi_{n0}\rangle =0$ (musí být anihilován $ \widehat{A}_n$ -- odtud název operátoru). Tato rovnost dává diferenciální rovnici, z níž lehce spočteme $ \psi_{n0}(x)$

$\displaystyle \nonumber \frac{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits }{\mathop{{\rm d}\!}\...
..._{n0}(x)}{\psi_{n0}(x)}=-n\frac{\mathop{{\rm d}\!}\nolimits x \sinh x}{\cosh x}$

a výsledné řešení, neboli základní stav $ \widehat{H}_n$ je tedy

$\displaystyle \ln\psi_{n0}(x)=-n\ln\cosh (x)+c\,,\quad \psi_{n0}(x)=K(\cosh x)^{-n}\,,$    

všimněte si rychlé konvergence pro $ x\to\pm\infty$. Příslušná vlastní hodnota $ \widehat{H}_n$ je rovna $ -n^2/2$ podle (135).


b) Řídíme-li se radou v zadání a použijeme-li rovnice (135) a (135), dostáváme díky asociativitě

$\displaystyle \widehat{H}_n\widehat{A}^\dagger_n =(\widehat{A}^\dagger_n\wideha...
...)-\frac{n^2}{2}\widehat{A}^\dagger_n =\widehat{A}^\dagger_n\widehat{H}_{n-1}\,.$ (136)

Jinak řečeno,

$\displaystyle \widehat{A}^\dagger_n\widehat{H}_{n-1}\vert\psi\rangle =\widehat{H}_n\widehat{A}^\dagger_n\vert\psi\rangle \,,$ (137)

působením $ \widehat{A}^\dagger_n$ na vlastní stav $ \widehat{H}_{n-1}$ získáme vlastní stav $ \widehat{H}_n$ se stejným vlastním číslem: pokud je $ \widehat{H}_{n-1}\vert\psi\rangle = E\vert\psi\rangle $, pak z (137) plyne $ \widehat{H}_n(\widehat{A}_n^\dagger\vert\psi\rangle )= E(\widehat{A}_n^\dagger\vert\psi\rangle )$. Hermiteovským sdružením rovnice (136) získáme také identitu

$\displaystyle \widehat{A}_n\widehat{H}_{n}=\widehat{H}_{n-1}\widehat{A}_n\,,$ (138)

která analogicky říká, že působením $ \widehat{A}_n$ na vlastní stav $ \widehat{H}_n$ získáme vlastní stav $ \widehat{H}_{n-1}$.

Nyní už můžeme sklízet plody. Operátor $ \widehat{H}_0$ popisuje volnou částici, nemá tedy žádné vázané stavy65. Dále víme, že operátor $ \widehat{H}_n$ má základní stav, který $ \widehat{A}_n$ zobrazí na nulu. Všechny ostatní vázané stavy $ \widehat{H}_n$ nám po vynásobení $ \widehat{A}_n$ dají (netriviální) vázané stavy $ \widehat{H}_{n-1}$ podle (138). To znamená, že $ \widehat{H}_n$ má jeden vázaný stav navíc proti $ \widehat{H}_{n-1}$ a indukce ihned dává, že $ \widehat{H}_n$$ n$ vázaných stavů.

Základní stav $ \widehat{H}_n$ má energii $ E=-\frac{1}{2}n^2$, ostatní vlastní stavy $ \widehat{H}_n$ mají podle (137) stejné energie jako vlastní stavy $ \widehat{H}_{n-1}$. Tedy (opět třeba indukcí): energie (vlastní čísla) vázaných stavů $ \widehat{H}_n$ jsou čísla $ -k^2/2$, kde $ k=1,2,\dots n$. Tyto vlastní funkce $ \widehat{H}_n$ lze explicitně psát jako

$\displaystyle \vert\psi_{n,0}\rangle \ $    a $\displaystyle \ \vert\psi_{n,n-k}\rangle =\widehat{A}^\dagger_n\widehat{A}^\dag...
...n-1} \dots\widehat{A}^\dagger_{k+1}\vert\psi_{k0}\rangle \,,\ k=1,\ldots,n-1\,,$ (139)

kde $ \vert\psi_{k0}\rangle $ je základní stav $ \widehat{H}_k$ nalezený v rovnici (136). Opakovaně jsme užili rovnice (137).


c) Hamiltonián $ \widehat{H}_0$ má zjevně pouze (nenormalizovatelné) vlastní funkce $ \exp(ipx)$ s vlastní hodnotou $ p^2/2$ (pro $ p>0$ popisují částici letící doprava). Zcela analogicky jako v (139) lze získat vlastní funkce $ \widehat{H}_n$:

$\displaystyle \widetilde\psi_{n,p}(x)=\widehat{A}^\dagger_n\widehat{A}^\dagger_{n-1} \dots\widehat{A}^\dagger_{1}\exp(ipx).$ (140)

Všimněte si, že působením operátoru $ \widehat{A}^\dagger_l$ nezměníme asymptotické chování vlnové funkce $ \exp(ipx)$ pro $ \vert x\vert\to\infty$: jinak řečeno $ \vert\widetilde\psi_{n,p}(x)/\exp(ipx)\vert$, vychází stejně pro $ x\to\infty$ i $ x\to -\infty$. Toto chování znamená, že amplituda vlny letící zleva se po průchodu z $ x=-\infty$ do $ x=\infty$ nezmenší: koeficient odrazu je tedy zázrakem roven nule pro libovolnou hodnotu hybnosti $ p$. Tuto vlastnost samozřejmě má pouze naše třída hamiltoniánů, nikoliv typické hamiltoniány; nejpodstatnějším předpokladem je $ \widehat{A}_1\widehat{A}_1^\dagger=\widehat{H}_0+1/2$, který určuje tvar $ \widehat{A}_n$ a $ \widehat{H}_n$ jednoznačně.

$ \ast$LM$ \ast$