Znaménko permutace

Úkol: Je zadána permutace

$\displaystyle \pi=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&2&3&4\cr \pi(1)&\pi(2)&\...
...t)=
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&2&3&4\cr 2&4&1&3\end{array}\right)\,.
$

a)
Určete znaménko $ \pi$ různými způsoby: z počtu inverzí, transpozic a cyklů sudých délek.
b)
Proveďte totéž pro $ \pi^2$.


Řešení:


a) Inverze je každá dvojice $ (i,j)$, $ i<j$, pro kterou je $ \pi(i)>\pi(j)$. Pro naši permutaci jsou to $ (1,3)$, $ (2,3)$, $ (2,4)$, tedy lichý, a permutace je proto lichá.

Transpozice $ (i,j)$ je permutace $ \sigma$, pro kterou $ \sigma(i)=j$, $ \sigma(j)=i$ a $ \sigma(k)=k$ pro $ k\not=i,j$. Jinými slovy permutace, která vymění prvky $ i,j$ a ostatní nechá na místě. Každou permutaci lze získat složením konečně mnoha transpozic (viz body 2 a 3 v příkladu 2.9). Pro naši permutaci $ \pi$ to lze provést například následovně: $ (2413)\to(2143)\to(1243)\to(1234)$. Počet transpozic je opět lichý a $ \pi$ je i podle této definice lichá.

Konečně $ \pi$ obsahuje jediný cyklus $ 1\to 2\to 4\to
3$ a ten má sudou délku. Celkový počet cyklů sudé délky je tedy lichý a permutace je lichá. Tato metoda je pro většinu permutací zdaleka nejrychlejší.


b) Jak obecně vypadá $ \pi$ složená s $ \varrho $? Prvek $ i$ se zobrazí na $ \pi\big(\varrho (i)\big)$. Všimněte si, že tudíž nemusí platit $ \pi\circ \varrho =\varrho \circ\pi$.

V našem případě je $ \pi^2(1)=\pi(2)=4$, $ \pi^2(2)=\pi(4)=3$, $ \pi^2(3)=\pi(1)=2$, $ \pi^2(4)=\pi(3)=1$, tedy

$\displaystyle \pi^2=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&2&3&4\cr 4&3&2&1\end{array}\right)\,.
$

V této permutaci jsou v inverzi každé dva prvky. Takových dvojic je celkem šest, a permutace je tedy sudá.

Permutaci $ \pi^2$ lze také zapsat dva cykly délky dva: $ 2\to 3$, $ 1\to
4$. To jsou zároveň dvě transpozice.

Znaménko permutace definuje pěkný morfizmus ze symetrické grupy {\bb S}$ _n$ (permutace $ n$-prvkové množiny) do {\bb C}$ _2$ ($ \{1,-1\}$ s operací násobení). Obecně je morfizmus grupy {\bb G}$ _1$ do grupy {\bb G}$ _2$ zobrazení $ \varphi :${\bb G}$ _1\to${\bb G}$ _2$, které zachovává grupovou operaci, tedy $ \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$ pro $ \forall a,b\in${\bb G}$ _1$.

Pokud je grupa {\bb G}$ _2$ tvořena lineárními zobrazeními na vektorovém prostoru dimenze $ n$, pak hovoříme o $ n$-rozměrné reprezentaci grupy {\bb G}$ _1$. V našem případě je $ n=1$.

Více o reprezentacích (symetrických grup) naleznete v příkladu 10.4.

$ \ast$KV$ \ast$