{\bb SO}$ (4)$ symetrie atomu vodíku

Úkol: Nalezněte všechna vlastní čísla hamiltoniánu atomu vodíku ve třech rozměrech

$\displaystyle \widehat{H}=\frac{\widehat{p}^2}{2m}-\frac \alpha {\widehat{r}}$ (141)

a degenerace příslušných hladin (tj. dimenze podprostorů odpovídajících danému vlastnímu číslu) pouhým výpočtem komutátorů a součinů různých operátorů, jako například $ \widehat{H}$, momentu hybnosti $ \vec{\widehat{L}}$ a tzv. Runge-Lenzova vektoru $ \vec{\widehat{A}}$, kde

$\displaystyle \vec {\widehat{A}}=\frac 1{m\alpha }\vec{\widehat{L}}\times \vec{...
...ehat{r}}\,, \qquad \widehat{L}_i=\varepsilon_{ijk}\widehat{x}_j\widehat{p}_k\,,$ (142)

tedy nikoliv řešením diferenciální rovnice $ \widehat{H}\vert\psi\rangle =E\vert\psi\rangle $.

Návod: Ukažte, že operátory $ \widehat{A}_i$, $ \widehat{L}_j$, $ j=1,2,3$ generují Lieovu algebru a přesvědčte se, že jí odpovídá grupa {\bb SO}$ (4)$. Dále se přesvědčte, že všechny operátory $ \widehat{A}_i$, $ \widehat{L}_j$ komutují s  $ \widehat{H}$, tedy že působením libovolného z těchto operátorů na vlastní stav $ \widehat{H}$ s vlastním číslem (energií) $ E$ dostaneme opět vlastní stav $ \widehat{H}$ s energií $ E$. Působení operátorů $ \widehat{A}_i$, $ \widehat{L}_j$ na prostoru těchto vlastních stavů (budiž jeho dimenze $ N$; toto je degenerace hladiny $ E$) tedy definuje $ N$-rozměrnou reprezentaci {\bb SO}$ (4)$. Nalezněte proto nejprve všechny reprezentace této grupy a pro každou reprezentaci pak spočítejte, jaké vlastní hodnotě $ \widehat{H}$ odpovídá.

V rámci rozehřátí se s výšeuvedenými pojmy seznamte u jednoduššího problému, $ n$-rozměrného izotropního harmonického oscilátoru.

Poznámka: V tomto příkladu budeme značit imaginární jednotku $ {\rm i}$ stojatě, skloněné $ i$ ponecháme pro indexy.


Řešení: Již v klasické Keplerově úloze s hamiltoniánem (141) lze ukázat, že Runge-Lenzův vektor $ \widehat{A}_i$ z rovnice (142) má nulovou Poissonovu závorku s hamiltoniánem, a tedy se zachovává. Tento vektor ukazuje směrem k ,,odsluní'' dané elipsy a jeho zachování souvisí s tím, že právě pro potenciál $ -\alpha/r$ zůstává elipsa na místě. Podobnou symetrii má také izotropní $ n$-rozměrný harmonický oscilátor, v němž jsou trajektoriemi také elipsy, které ovšem mají v počátku střed (a nikoliv ohnisko jako u Keplerovy úlohy). V případě izotropního oscilátoru se zachovává celý tenzor (tj. každá složka zvlášť)

$\displaystyle T_{lj}=\frac{p_lp_j}{2m}+\frac {\alpha }{2} x_lx_j +\frac{{\rm i}}{2}\sqrt{\frac{\alpha }{m}}(x_lp_j-x_jp_l),$ (143)

jehož stopa je mimochodem hamiltoniánem a antisymetrická66 část (až na normalizaci) momentem hybnosti. Podle teorému Noetherové odpovídají tyto zákony zachování invarianci vůči transformacím generovaným Poissonovými závorkami s těmito zachovávajícími se veličinami:

$\displaystyle l\to l+\{l,\varepsilon_iA_i\}\,,\quad H\to H\,.
$

Ale vrhněme se již zpět k našemu algebraickému úkolu, řešícímu problém v kvantové mechanice. I v kvantové mechanice, kde platí

$\displaystyle [\widehat{x}_i,\widehat{p}_j]={\rm i}\hbar \delta_{ij}\,,$ (144)

zůstanou oba potenciály významné.



Podsekce