Harmonický oscilátor

$ n$-rozměrného izotropního oscilátoru definujeme nejprve kreační a anihilační operátory (viz příklad 16.4, $ \widehat{c}_i=\widehat{a}_i$), které splňují

$\displaystyle [\widehat{c}_i,\widehat{c}^\dagger_j]=\delta_{ij}\,.$ (145)

U hamiltoniánu zapsaného v řeči těchto operátorů

$\displaystyle \widehat{H}_{osc}=\hbar\omega\sum_{i=1}^n \left(\widehat{c}_i^{\dagger}\widehat{c}_i+\frac 12\right)$ (146)

pak najdeme operátory $ \widehat{c}_i^\dagger\widehat{c}_j$, které s  $ \widehat{H}_{osc}$ komutují (ověřte); odpovídají zachovávajícím se klasickým veličinám (143).

Tyto operátory ( $ \widehat{c}_i^\dagger\widehat{c}_j$, $ i,j=1,\ldots,n$) tvoří bázi Lieovy algebry, neboť při komutování zůstáváme v tomto prostoru. Pomocí komutační relace (145) dopočítejte, že

$\displaystyle [\widehat{c}^\dagger_i\widehat{c}_j,\widehat{c}^\dagger_k\widehat...
...hat{c}^\dagger_i\widehat{c}_l -\delta_{il}\widehat{c}^\dagger_k\widehat{c}_j\,.$ (147)

Hermiteovské kombinace operátorů $ \widehat{c}_i^\dagger\widehat{c}_j$ (tedy reálné lineární kombinace výrazů $ \mathop{\rm e}^{{\rm i}a}\nolimits \widehat{c}_i^\dagger\widehat{c}_j+
\mathop{\rm e}^{-{\rm i}a}\nolimits \widehat{c}_j^\dagger\widehat{c}_i$, $ \alpha\in${\bb R}) generují grupu {\bb U}$ (n)$. To plyne z toho, že komutační relace (147) jsou stejné jako u matic $ G_{ij}$, které mají samé nuly kromě prvku $ ij$, který je jednička (obě algebry jsou tedy izomorfní). V případě $ n=2$ lze hermitovskou kombinaci $ M$ matic $ G_{ij}$ zapsat jako reálnou kombinaci67 Pauliho matic $ \sigma_k$ a $ \mathbbm{1}$. Exponenciálu obecné matice $ \exp({\rm i}M)$ jsme spočítali v příkladě 11.8 a zjistili jsme, že takto vygenerujeme {\bb U}$ (2)$. Pokud bychom vynechali mezi generátory algebry jednotkovou matici (lze také říct, že žádáme $ \mathop{\rm Tr}\nolimits M=0$), dostali bychom {\bb SU}$ (2)$. V případě $ n>2$ postupujeme podobně (matice $ G_{ij}+G_{ji}$ odpovídá matici $ \sigma_1$, atd.), potřebujeme ale více ,,sad'' matic $ \sigma_k$, $ \mathbbm{1}$, například u $ n=3$ tři pro $ (ij)=(12),(23),(13)$.

Pro jakýkoliv operátor $ \widehat{S}$, který komutuje s  $ \widehat{H}$, platí

$\displaystyle \widehat{H}\vert\psi\rangle =E\vert\psi\rangle \ \Rightarrow \widehat{H}(\widehat{S}\vert\psi\rangle )=E(\widehat{S}\vert\psi\rangle )\,,$ (148)

srovnejte se vztahem (137) a následujícím odstavcem. To znamená, že i $ \exp(t\widehat{S})$ má tuto vlastnost. Prostor $ V(E)$ vlastních stavů $ \widehat{H}$ s energií $ E$ je tedy invariantní vůči působení libovolného operátoru $ \exp({\rm i}\widehat{C})$, kde $ \widehat{C}$ je hermitovská kombinace $ \widehat{c}_i^\dagger\widehat{c}_j$; operátory $ \exp({\rm i}\widehat{C})$ tvoří ale grupu izomorfní {\bb U}$ (n)$ a budeme tedy o nich dále mluvit jako o prvcích {\bb U}$ (n)$. Každému prvku z  {\bb U}$ (n)$ tedy můžeme přiřadit automorfizmus $ V(E)\to V(E)$, $ \dim V(E)=N$, a takové zobrazení z grupy do množiny automorfizmů vektorového prostoru je $ N$-dimenzionální reprezentace grupy {\bb U}$ (n)$.

Zapomeňme teď na chvíli na původní problém a ptejme se, jaké reprezentace má {\bb U}$ (n)$. V takzvané fundamentální reprezentaci {\bb U}$ (n)$ přiřadíme prvku $ A\in${\bb U}$ (n)$ zobrazení

{\bb C}$\displaystyle ^n\to${\bb C}$\displaystyle ^n:\ \vec{v}\mapsto A\vec{v}\,;$

tato reprezentace je ireducibilní -- matice {\bb U}$ (n)$ představují všechna možná ,,otočení''68 (případně otočení plus zrcadlení) v  {\bb C}$ ^n$, určitě tedy nenajdeme žádný podprostor {\bb C}$ ^n$, který se by působením libovolné matice z  {\bb U}$ (n)$ zobrazil sám na sebe (invariantní podprostor).

Dále můžeme definovat reprezentaci

$\displaystyle A\in${\bb U}$\displaystyle (n) \mapsto \big\{${\bb C}$\displaystyle ^n\otimes${\bb C}$\displaystyle ^n\to$   {\bb C}$\displaystyle ^n\otimes${\bb C}$\displaystyle ^n:\
\vec{v}\otimes \vec{w}\mapsto A\vec{v}\otimes A\vec{w}\ \big\},
$

působení na vektor z  {\bb C}$ ^n\otimes${\bb C}$ ^n$, které nejsou tvaru $ \vec{v}\otimes \vec{w}$, definujeme tak, že vektor zapíšeme jako lineární kombinaci vektorů typu $ \vec{v}\otimes \vec{w}$ a $ A$ bereme jako lineární zobrazení. Toto je reprezentace na prostoru všech tenzorů typu $ (0,2)$ na {\bb C}$ ^n$ a podobně můžeme vytvořit reprezentace pomocí tenzorů typu $ (0,K)$. Tyto reprezentace jsou reducibilní a jejich dimenze jsou samozřejmě $ n^K$.

Nyní se vrátíme k původní úloze o izotropním harmonickém oscilátoru a podíváme se na ni z opačného směru. Víme (příklad 16.4), že libovolný vlastní stav $ \widehat{H}_{osc}$ s energií $ \hbar\omega(K+\frac{1}{2}n)$ lze získat působením $ K$ operátorů $ \widehat{c}_{i_k}^\dagger$, kde indexy $ i_1,\ldots, i_K\in\{1,\ldots,n\}$, na základní stav $ \vert 0\rangle $, případně jako lineární kombinaci takových stavů (se stejným $ K$ samozřejmě)

$\displaystyle T_{i_1\ldots i_K}\widehat{c}_{i_1}^\dagger\ldots \widehat{c}_{i_K}^\dagger\vert 0\rangle \,.$ (149)

Na vlastní oči tedy vidíme, že stavy $ K$-krát vzbuzené hladiny lze popsat pomocí tenzorů s $ K$ indexy. Jelikož spolu ale všechny operátory $ \widehat{c}_{i}^\dagger$ komutují, jsou stavy typu (149), jejichž tenzory $ T$ mají stejnou symetrickou část69, stejné.

Stavy $ K$-té hladiny lze tedy jednoznačně popsat symetrickými tenzory s $ K$ indexy (je to jedna z ireducibilních reprezentací v rozkladu výše zmíněné reducibilní $ n^K$-rozměrné tenzorové reprezentace).

Jaká je dimenze této reprezentace, nebo jinak, jaká je dimenze prostoru stavů typu (149), stupeň degenerace hladiny $ E_K=\hbar\omega (K+\frac{1}{2}n)$? Bázi v prostoru symetrických tenzorů$ K$ indexy tvoří například tenzory

$\displaystyle T_M:\ (T_M)_{i_1\ldots i_K}=\left\{\ \begin{array}{ccccccccccccc}...
... (s opakováním) množiny }M\hfill\cr
0\mbox{ jinak.}\hfill\end{array}\right.\,,
$

kde $ M$, označující jednotlivé prvky báze, probíhá všechny skupiny $ (a_1,\ldots,a_K)$, $ 1\le a_1\le \ldots\le a_K\le n$. Prvků báze je potom tolik, kolik existuje těchto množin, neboli počet kombinací $ K$ prvků z $ n$ prvků s opakováním (jinak řečeno počet výběrů $ K$ operátorů $ \widehat{c}_i^\dagger$, $ i
\in \{1,\ldots,n\}$ bez ohledu na pořadí). Degenerace $ K$-té hladiny je tedy

$\displaystyle \dim V(E_K)={K+n-1\choose n-1}\,.
$

Počet kombinací s opakováním se obvykle odvozuje jako počet způsobů, jak vymezit $ n-1$ přepážkami $ n$ skupin v $ K$ předmětech: přičemž počet prvků v $ j$-té skupině odpovídá počtu $ \widehat{c}_j^\dagger$. Celkem tedy vkládáme $ n-1$ přepážek do $ K+n-1$ buněk -- buňka může být obydlena buď přepážkou, nebo operátorem $ \widehat{c}^\dagger_j$.