Atom vodíku

Nyní přistupme ke složitější úloze, atomu vodíku. Mohli bychom se obávat, že definice součinu operátorů jako $ \widehat{x}$ a $ \widehat{p}$ užitá v (142) ze znalosti klasických veličin nebude jednoznačná, jelikož operátory nekomutují. Ovšem vedle triviálně zobecnitelného členu $ \vec{\widehat{x}} / \widehat{r}$ lze zobecnit jednoznačně i členy typu $ \widehat{x}_i\widehat{p}_j\widehat{p}_k$, požadujeme-li hermiticitu, jelikož hermitovské části70 výrazu $ \widehat{x}_i\widehat{p}_j\widehat{p}_k$, $ \widehat{p}_j\widehat{x}_i\widehat{p}_k$, jakož i ostatních permutací, jsou stejné, jak čtenář jistě ověří. Definujme tedy Runge-Lenzův operátor jako

$\displaystyle \vec{\widehat{A}}_i=\frac 1{m\alpha }\left(\frac12\widehat{x}_n\w...
...widehat{p}_n\widehat{x}_i\widehat{p}_n\right)+\frac{\widehat{x}_i}{\widehat{r}}$

a užívejme $ \vec{\widehat{L}}$ definované v (142). Operátory $ \vec{\widehat{L}}$ i $ \vec{\widehat{A}}$ komutují s  $ \widehat{H}$

$\displaystyle \widehat{H}=\frac{\widehat{p}^2}{2m}-\frac {\alpha}{\widehat{r}}\,,
\quad [\widehat{H},\widehat{L}_i]=[\widehat{H},\widehat{A}_i]=0\,,
$

jak lehce zjistíte užitím (144) a jednoduchých formulí jako

$\displaystyle [\widehat{A}\widehat{B},\widehat{C}]
=\widehat{A}[\widehat{B},\widehat{C}]+[\widehat{A},\widehat{C}]\widehat{B}\,.$

Nyní budeme chtít sestrojit z operací symetrie $ \widehat{A}_i$, $ \widehat{L}_j$ Lieovu algebru operátorů na zatím blíže neurčeném prostoru stavů. Zkoumejme tedy komutátory $ \widehat{L}_i$ a $ \widehat{A}_j$:

$\displaystyle [\widehat{L}_i,\widehat{L}_j]={\rm i}\hbar\varepsilon_{ijk}\wideh...
...uad [\widehat{L}_i,\widehat{A}_j]={\rm i}\hbar\varepsilon_{ijk}\widehat{A}_k\,.$ (150)

Všimněte si, že tyto vzorce vyjadřují, že se $ \vec{\widehat{L}}$ a $ \vec{\widehat{A}}$ transformují jako vektory při rotacích generovaných $ \widehat{L}_i$. Nejobtížnější komutátor je

$\displaystyle [\widehat{A}_i,\widehat{A}_j]={\rm i}\hbar\varepsilon_{ijk}\widehat{L}_k\frac{-2\widehat{H}}{m\alpha^2}\,,$ (151)

při jehož kontrole doporučujeme ignorovat členy symetrické v $ ij$, které se musí nakonec stejně kompenzovat. Díky této kompenzaci se (151) shoduje s Poissonovou závorkou klasické veličiny $ \{A_i,A_j\}$ (násobenou $ {\rm i}\hbar$). Připomeňme, že nezáleží na pořadí, v jakém píšeme pravou stranu, jelikož $ \widehat{H}$ a $ \widehat{L}_i$ komutují.

Dále studujme konkrétní hladinu s vlastní hodnotou hamiltoniánu (energií) $ E$, a to jen v případě $ E<0$, tedy prostor $ V(E)$. Operátor $ \widehat{H}$ je na tomto prostoru pouze $ E\cdot\mathop{{\rm Id}}$, a tudíž podle formulí (150) a (151) dostaneme komutováním operátorů $ \widehat{A}_i$, $ \widehat{L}_j$ působících na těchto prostorech71 lineární kombinaci $ \widehat{A}_i$, $ \widehat{L}_j$. Tyto operátory tedy generují algebru a ta je izomorfní algebře {\goth so}$ (4)$: operátor $ \widehat{A}_i$ je úměrný generátoru $ \widehat{J}_{i4}$, rotujícímu $ i$-tou a čtvrtou souřadnici. Někteří čtenáři možná vědí, že algebra {\goth so}$ (4)$ je izomorfní algebře {\goth su}$ (2)\times${\goth su}$ (2)$; v následujícím odstavci to předvedeme.

Hledejme místo operátorů $ \widehat{L}_i$ a $ \widehat{A}_i$ takové jejich lineární kombinace $ \widehat{M}_i$ a $ \widehat{N}_i$, které splňují komutační relace {\goth su}$ (2)$ (viz příklad 11.8)

$\displaystyle [\widehat{M}_i,\widehat{M}_j]={\rm i}\varepsilon_{ijk}\widehat{M}...
...\rm i}\varepsilon_{ijk}\widehat{N}_k\,,\quad [\widehat{M}_i,\widehat{N}_j]=0\,.$ (152)

Chceme tedy ukázat, že {\goth so}$ (4)$ se skládá ze dvou podprostorů, které jsou s ohledem na operaci komutování uzavřené a izomorfní {\goth su}$ (2)$.

Zkusíme hledat $ \widehat{M}_i,\widehat{N}_i$ ve tvaru

$\displaystyle \widehat{M}_i=\gamma \widehat{L}_i+\beta \widehat{A}_i\,,\quad
\widehat{N}_i=\gamma \widehat{L}_i-\beta\widehat{A}_i\,.
$

Z požadavku $ [\widehat{M}_i,\widehat{N}_j]=0$ dostáváme pomocí předpočítaných komutátorů (150,151)

$\displaystyle 0=[\widehat{M}_i,\widehat{N}_j]={\rm i}\hbar\varepsilon_{ijk}
\left(\gamma^2-\beta^2\frac{-2E}{m\alpha^2}\right)\widehat{L}_k\,,
$

tedy podmínku $ \beta=\gamma\sqrt{-m\alpha^2/2E}$ (volba opačného znaménka odmocniny odpovídá pouhé záměně $ \widehat{M}_i\leftrightarrow\widehat{N}_i$). Z další podmínky pro $ [\widehat{M}_i,\widehat{M}_j]$ (nebo ekvivalentně $ [\widehat{N}_i,\widehat{N}_j]$) získáme

$\displaystyle {\rm i}\varepsilon _{ijk}\widehat{M}_k=[\widehat{M}_i,\widehat{M}...
...a^2\frac{-2E}{m\alpha^2}\right)\widehat{L}_k
+2\gamma\beta\widehat{A}_k\right]
$

tj. má-li být poslední výraz roven $ {\rm i}\varepsilon _{ijk}[\gamma\widehat{L}_k+\beta\widehat{A}_k]$, pak $ 2\gamma\beta\hbar=\beta$, čili

$\displaystyle \gamma=\frac{1}{2\hbar}\,,\quad\beta=\frac1{2\hbar} \sqrt{\frac {m\alpha^2}{-2E}}\,.$ (153)

Pro reprezentace operátorů $ \widehat{M}_i$ a $ \widehat{N}_i$ platí obvyklé závěry o grupách izomorfních {\bb SO}$ (3)$ nebo {\bb SU}$ (2)$, konkrétně vlastní hodnoty $ \widehat{M}^2$ resp. $ \widehat{N}^2$ jsou rovny $ j_M(j_M+1)$ resp. $ j_N(j_N+1)$ $ j=0,\,\frac{1}{2},\,1,\,\frac{3}{2}
\,,2,\,\dots$; myslete na $ \widehat{M}_i$ jako na složkt momentu hybnosti, viz příklad 16.5. V našem případě ale můžeme ukázat, že $ \widehat{M}^2=\widehat{N}^2$; rozdíl těchto operátorů je úměrný $ \widehat{L}_i\widehat{A}_i$ a tento skalární součin byl nulový již v klasické teorii: $ \vec{\widehat{A}}$ leží v rovině oběhu, na kterou je $ \vec{\widehat{L}}$ kolmé. Vymizení tohoto skalárního součinu v teorii kvantové lze spatřit třeba přepsáním všech členů do $ \widehat{x}\widehat{x}\dots\widehat{p}\widehat{p}\dots$ tvaru, kde se na určitých místech vyskytují indexy $ i,j,k$: buď u  $ \widehat{x}\widehat{x}\dots$ nebo u  $ \widehat{p}\widehat{p}\dots$ musí být alespoň dva z nich, dávají tedy výraz v těchto indexech symetrický a ten se anuluje zúžením s  $ \varepsilon _{ijk}$.

Tedy $ j_M=j_N$, neboli pokud reprezentaci grupy symetrie hamiltoniánu (vygenerované z algebry operátorů $ \widehat{A}_i$, $ \widehat{L}_j$) na $ V(E)$ zapíšeme jako součin dvou reprezentací grup {\bb SU}$ (2)$, musí mít obě reprezentace stejnou dimenzi. Každá z projekcí $ j_{M,3}$ a $ j_{N,3}$ (myslete na průmět momentu hybnosti do třetí souřadné osy) může nabývat jedné z $ 2j_M+1$ hodnot od $ -j_M$ do $ +j_M$. Zavedeme-li číslo $ n=2j_M+1$, které se pro $ j_M=0,\,\frac 12,\,\dots$ rovná $ 1,2,\dots$, lze celkovou degeneraci psát jako $ D=(2j_M+1)^2=n^2$ v souhlase s interpretací $ n$ jako hlavního kvantového čísla. Hladina s hlavním kvantovým číslem $ n$ se tedy transformuje jako $ (n,n)$ reprezentace grupy {\bb SU}$ (2)\times${\bb SU}$ (2)$.

Na závěr nás ještě zajímá, jakou energii má tato hladina s hlavním kvantovým číslem $ n$. Nejprve je třeba roznásobit a dokázat identitu

$\displaystyle \widehat{H}\left(\widehat{M}^2+\frac14\right)=-\frac{m\alpha^2}{8\hbar^2},$ (154)

která nám v podstatě dovoluje definovat hamiltonián jako

$\displaystyle \widehat{H}=-\frac{m\alpha^2/\hbar^2}{8\widehat{M}^2+2}.$ (155)

Při důkazu je třeba dosadit za $ \widehat{M}^2=\gamma^2\widehat{L}^2+\beta^2\widehat{A}^2$, dále $ \widehat{A}_i$ rozepsat dle definice a místo $ \widehat{H}$ psát $ E$: vše provádíme v podprostoru vlastních vektorů $ \widehat{H}$ s energií $ E$. Rovnici (154) vynásobíme $ 4\hbar^2$ a po převedení $ \widehat{A}^2$ na pravou stranu zbývá dokázat rovnost

$\displaystyle \widehat{H}(\widehat{L}^2+\hbar^2)=\frac{m\alpha^2}2(\widehat{A}^2-1)\,,$

což vyžaduje asi pětinásobné úsilí proti analogické rovnosti pro klasické veličiny, u které schází $ +\hbar^2$ na levé straně. Uvědomíme-li si, že vlastní čísla $ \widehat{M}^2$ jsou $ j_M(j_M+1)=\frac{1}{4}(n^2-1)$ [$ n$ jsme definovali pomocí $ j_M=\frac{1}{2}(n-\discretionary{}{\hbox{$-$}}{}1)$], a dosadíme-li za $ \alpha$ fyzikální hodnotu $ e^2/4\pi\varepsilon_0$, rovnice (155) nám již bez odporu vyjeví vlastní hodnoty energie atomu vodíku, aniž bychom řešili jedinou diferenciální rovnici:

$\displaystyle E= -\frac{m}{2n^2}\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\right)^2\,, \qquad n=1,2,\ldots$ (156)

$ \ast$LM$ \ast$