Vícerozměrný anizotropní harmonický oscilátor

Úkol: Zopakujte si, jak je ve skriptech [PLA] nalezeno spektrum lineárního harmonického oscilátoru, a podobnou metodou najděte spektrum $ N$-rozměrného anizotropního harmonického oscilátoru, jehož hamiltonián je

$\displaystyle \widehat{H}={\widehat{\vec{p}}^2\over2m}+{1\over2}m\omega^2
\widehat{\vec{x}}^T{A}\widehat{\vec{x}}\,,$

kde $ {A}$ je reálná symetrická pozitivně definitní matice.


Poznámka: Podmínka, aby byla matice pozitivně definitní, vyplývá z fyzikálního náhledu. Druhý člen v  $ \widehat{H}$ popisuje potenciální energii částice lokalizované v bodě $ \vec{x}$. Zajímáme se o vázané stavy částice (chceme, aby bylo spektrum diskrétní), částice tedy musí být lokalizovaná ,,v konečném objemu'' a potenciální energie musí tedy růst nade všechny meze, pokud $ \Vert\vec{x}\Vert\to\infty$ (v libovolném směru).

Z pohledu matematika je tato podmínka potřeba proto, abychom mohli definovat hermitovsky sdružené operátory $ \widehat{a}$, $ \widehat{a}^\dagger $ (viz vztah 157); pro hamiltonián typu $ p^2-x^2$ bychom měli potíže.


Řešení: Pro jistotu připomeneme, jak se postupuje v dimenzi jedna. Myšlenka je použít rozklad $ p^2+x^2=(p+ix)(p-ix)$, musíme ale mít na paměti, že tato formulka platí pouze, pokud $ xp=px$, zatímco v kvantové mechanice platí $ [x,p]=i\hbar$. Zavedeme anihilační a kreační operátor $ \widehat{a}$, $ \widehat{a}^\dagger $ vztahy

$\displaystyle \widehat{a}=\sqrt{m\omega\over2\hbar}\left(\widehat{x}+{i\widehat...
...=\sqrt{m\omega\over2\hbar}\left(\widehat{x}-{i\widehat{p}\over m\omega}\right),$ (157)

načež hamiltonián přejde na tvar

$\displaystyle \widehat{H}=\frac{1}{2m}\widehat{p}^2+\frac{1}{2}m\omega^2 \widehat{x}^2=
\hbar\omega\left(\widehat{a}^\dagger \widehat{a}+\frac{1}{2}\right)\,.$

Polovina na konci posledního výrazu je právě důsledek $ [x,p]\ne 0$. Spektrum výše uvedeného hamiltoniánu je

$\displaystyle E_n=\hbar\omega\left(n+{1\over2}\right),\quad n=0,1,\dots$

Vraťme se k vícerozměrnému anizotropnímu případu: klíčový prvek řešení je diagonalizovat potenciál. Matice $ {A}$ je symetrická, a tedy existuje matice $ {P}$, která je ortogonální ( $ P^{-1}=P^{T}$) a pro niž je $ D={P}^T{AP}$ diagonální; vlastní čísla $ D$ označme $ \lambda_1,\dots,\lambda_n$ a víme, že jsou všechna reálná ($ A$ je hermitovská) a kladná ($ A$ je pozitivně definitní). Vztahem $ \widehat{\xi}={P}^T\widehat{\vec{x}}$ definujeme nové souřadnice, ve kterých je tedy kvadratická forma popisující potenciální energii diagonální

$\displaystyle {1\over2}m\omega^2\widehat{\vec{x}}^T{A}\widehat{\vec{x}}=
{1\over2}m\omega^2\sum_{i=1}^N\lambda_i\widehat{\xi}_i^2\,.$

Současně zavedeme nové hybnosti relací $ \widehat{\pi}={P}^T\widehat{\vec{p}}$ a díky ortogonalitě matice $ {P}$ je $ \sum\widehat{p}_i^2=\sum\widehat{\pi}_i^2$ (ověřte). Hamiltonián tedy nabude tvar

$\displaystyle \widehat{H}={1\over2m}\sum_{i=1}^N\widehat{\pi}_i^2+{1\over2}m\omega^2 \sum_{i=1}^N\lambda_i\widehat{\xi}_i^2\,.$ (158)

Nové souřadnice a hybnosti $ \widehat{\xi}_i$ a $ \widehat{\pi}_i$ splňují správné komutační relace (říkáme, že tyto souřadnice jsou kanonické)

$\displaystyle [\widehat{\xi}_j,\widehat{\pi}_k]=[P_{lj}\widehat{x}_l,P_{mk}\widehat{p}_m]=i\hbar
P_{lj}P_{mk}\delta_{lm}=i\hbar P^T_{jm}P_{mk}=i\hbar\delta_{jk}.$

Používáme Einsteinovu sumační konvenci, linearitu komutátoru a konečně kanoničnost původních souřadnic72 $ [\widehat{x}_l,\widehat{p}_m]={i}\hbar \delta_{lm}$. Hamiltonián (158) tedy představuje soustavu $ N$ nezávislých jednorozměrných oscilátorů s různými vlastními frekvencemi $ \omega_i^2=\lambda_i\omega^2$

$\displaystyle \widehat{H}=\sum_i \widehat{H}_i\,,\qquad \widehat{H}_i={1\over2m} \widehat{\pi}_i^2+{1\over2}m\omega_i^2\widehat{\xi}_i^2\,.$ (159)

To znamená, že vlastní vektory $ \widehat{H}$ můžeme (i když nemusíme) hledat ve tvaru tenzorového součinu $ \vert n_1\rangle \otimes\vert n_2\rangle \otimes\ldots
\otimes\vert n_N\rangle $, kde na $ i$-tém místě v součinu stojí nějaký vlastní vektor operátoru73 $ \widehat{H}_i$. Tento algebraický zápis vám bude možná srozumitelnější, pokud řekneme, že stavy $ \vert n\rangle $ jednorozměrného oscilátoru lze popsat funkcemi jedné proměnné74 $ \psi_n(\xi)$, stavy $ N$-rozměrného oscilátoru jako funkce $ N$ proměnných a že tenzorovému součinu odpovídá u těchto stavů funkce

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} \vert n_1\ldots n_N\rangle \df= ...
...1}(\xi_1)\psi_{n_2}(\xi_2)\cdots\psi_{n_N}(\xi_N)\,.\end{array}\end{displaymath} (160)

Například operátor $ \widehat{H}_1$ obsahuje pouze násobení $ \xi_1$ a derivování podle $ \xi_1$ (neobsahuje operace s jinými proměnnými $ \xi_j$), a tedy působí na $ \vert n_1\ldots n_N\rangle $ samozřejmě

$\displaystyle \widehat{H}_1 \big[\psi_{n_1}(\xi_1)\psi_{n_2}(\xi_2)\cdots\psi_{...
...at{H}_1 \big[\psi_{n_1}(\xi_1)\big]\psi_{n_2}(\xi_2)\cdots\psi_{n_N}(\xi_N)\,,
$

což jsme měli na mysli obratem ,,působit na první dimenzi a ostatní nechat na pokoji''.

Ztotožnění prostoru stavů $ {\fam\rsfam S}$ s funkcemi $ N$ proměnných (vztah 160) se nazývá $ \xi$-reprezentace a lze jej chápat jako vyjádření prvku $ {\fam\rsfam S}$ v bázi75 $ \vert\delta(\xi'_1-\xi_1)\rangle \otimes \cdots \otimes
\vert\delta(\xi'_N-\xi_N)\rangle $, která je indexována spojitými indexy $ \xi'_1,\ldots \xi'_N$ probíhajícími (nezávisle) celé {\bb R}.

Pokud lze hamiltonián rozložit podle vzoru (159), hovoříme o separovatelném problému. Je nasnadě, že se takové problémy těší oblibě, neboť při jejich řešení je potřeba se zabývat pouze jednoduššími (v tomto případě jednorozměrnými) úlohami. Lze ukázat, že obecný vlastní stav $ \widehat{H}$ příslušný k vlastnímu číslu $ E$ je vždy lineární kombinací tenzorových součinů (160), které odpovídají tomuto vlastnímu číslu.

Na základě naší znalosti řešení jednorozměrné úlohy teď můžeme okamžitě napsat, jak vypadá spektrum $ \widehat{H}$: působením operátoru ve tvaru (159) na stav (160) zjistíme, že jeho energie je

$\displaystyle E(n_1,\dots,n_N)=\hbar\omega\sum_{i=1}^N \sqrt{\lambda_i}\left(
n_i+{1\over2}\right)\,,$

a celé spektrum $ \widehat{H}$ dostaneme tak, že $ n_1,\ldots,n_N$ necháme probíhat všechna nezáporná celá čísla.

Pro izotropní harmonický oscilátor ( $ \lambda_1=\ldots=\lambda_N=\lambda$ a položme $ \lambda=1$) dostáváme tedy spektrum $ \hbar\omega (n+\frac{1}{2}N)$, $ n=0,1,\ldots$, jehož hladiny jsou ovšem vysoce degenerované: tolikrát, kolika způsoby lze nezáporné celé číslo $ n$ napsat jako součet $ N$ nezáporných celých čísel (viz úvod příkladu 16.3). Anizotropie tuto degeneraci snímá, ale podle konkrétní volby $ \lambda_1,\ldots,\lambda_N$ mohou některé hladiny zůstat degenerované.

$ \ast$TB$ \ast$