Kvantování momentu hybnosti

Úkol: Uvažujme algebru operátorů $ L_i$, $ i=1,2,3$, splňujících komutační relace76

$\displaystyle [L_i,L_j]={\rm i}\varepsilon _{ijk}L_k\,.$ (161)

Najděte všechny konečnědimenzionální ireducibilní reprezentace této algebry a charakterizujte je pomocí vlastních čísel $ L_3$. Jinými slovy: zajímáme se, pro která $ n$ existují lineární zobrazení $ L_1^{(n)}, L_2^{(n)},L_3^{(n)}:\ $   {\bb R}$ ^n\to${\bb R}$ ^n$, která splňují komutační relace (161) a která nemají žádné společné invariantní podprostory.


Návod: Definujte operátor $ \vec{L}^2=\sum_{i=1}^3L_i^2$, ukažte, že komutuje s  $ L_1,L_2,L_3$, a uvědomte si, že tedy v každé ireducibilní reprezentaci musí být tento operátor reprezentován $ \lambda$-násobkem operátoru identity. Ireducibilní reprezentace lze tímto číslem $ \lambda$ klasifikovat.

Definujte ladder operátory

$\displaystyle L_{\pm}=L_1\pm iL_2\,,$ (162)

a použijte techniku anihilačních a kreačních operátorů.


Úmluva: V příkladu značíme index $ i$ a imaginární jednotku $ {\rm i}$.


Řešení: Hned v úvodu upozorněme na to, že uvedené operátory mají fyzikální interpretaci: jsou to složky (orbitálního) momentu hybnosti částice, tedy $ \widehat{L_i}=\varepsilon _{ijk}\widehat{x}_j\widehat{p}_k$. Operátor $ \widehat{\vec{L}^2}$ pak samozřejmě odpovídá velikosti tohoto vektoru. V tomto příkladu nakonec zjistíme, jakých hodnot mohou nabývat vlastní čísla $ \widehat{L}_3$, pokud je vlastní hodnota $ \widehat{\vec{L}^2}$ rovna $ \lambda$.

Doplňme také, že komutační relace (161) jsou přesně komutační relace {\goth su}$ (2)$ (příklad 11.8). V tomto příkladu proto vlastně hledáme konečnědimenzionální ireducibilní reprezentace grupy {\bb SU}$ (2)$.

Nyní ale již k řešení. Nechť operátory $ L_1,L_2,L_3,\vec{L}^2$ jsou libovolné lineární operátory, které působí na prostoru {\bb R}$ ^n$ a splňují relace (161) -- takové operátory automaticky tvoří reprezentaci výšeuvedené algebry. Budeme se zabývat otázkou, za jakých podmínek může být tato reprezentace ireducibilní.

Snadno ověříme, že všechny složky $ L_i$ skutečně komutují s operátorem $ \vec{L}^2$ (vypište si všechny zadané komutační relace a proveďte). Lze tedy vždy najít bázi {\bb R}$ ^n$ složenou z vektorů77 $ \vert\vec{v}_1\rangle ,\ldots,\vert\vec{v}_n\rangle $, které jsou vlastními vektory jak $ L_3$, tak $ \vec{L}^2$ (nemůžeme žádat, aby to byly vlastní vektory i $ L_1$, $ L_2$, neboť ty již s $ L_3$ nekomutují); tvrzení

Nechť hermitovské operátory $ A$, $ B$ na {\bb R}$ ^n$ spolu komutují. Pak existuje báze {\bb R}$ ^n$, jejíž každý vektor je vlastním vektorem $ A$ i vlastním vektorem $ B$.

můžete považovat za známé, důkaz viz například v [Tan].

Je-li ovšem $ \vert\vec{a}\rangle $ vlastním vektorem $ \vec{L}^2$, pak i $ L_1\vert\vec{a}\rangle $ je vlastním vektorem tohoto operátoru, neboť $ [L_1,\vec{L}^2]=0$ (ověřte sami, nebo se podívejte na vztah 148); totéž platí samozřejmě pro $ L_2$, $ L_3$. Právě jsme ukázali, že vlastní podprostor operátoru $ \vec{L}^2$ pro zadané (jeho) vlastní číslo $ \lambda$ je invariantním prostorem operátorů $ L_1,L_2,L_3$; jediná možnost, jak tedy zachránit ireducibilitu reprezentace (nemá existovat žádný netriviální invariantní podprostor), je zaručit, že $ \vec{L}^2$ má na {\bb R}$ ^n$ jediné vlastní číslo (tedy $ \vec{L}^2=\lambda\mathop{{\rm Id}}$), neboť pak je tento invariantní podprostor celé {\bb R}$ ^n$. Toto tvrzení se nazývá Schurovo lemma.

Navíc v bázi $ \vert\vec{v}_1\rangle ,\ldots,\vert\vec{v}_n\rangle $ neexistují dva vektory, které by odpovídaly stejnému vlastnímu číslu $ L_3$ (kvůli ireducibilitě; viz poznámku za rovnicí 167). Vektory báze $ \vert\vec{v}_1\rangle ,\ldots,\vert\vec{v}_n\rangle $ tedy můžeme jednoznačně identifikovat vlastními čísly vzhledem k $ L_3$ a $ \vec{L}^2$; dále proto budeme používat pro vektory báze označení $ \vert\lambda,\mu\rangle $, kde

$\displaystyle \vec{L}^2\vert\lambda,\mu\rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda\vert\lambda,\mu\rangle \,,$  
$\displaystyle L_3\vert\lambda,\mu\rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mu\vert\lambda,\mu\rangle \,.$  

Nyní budeme chtít zjistit, jakých hodnot může nabývat $ \lambda$ a jakých (kolika) hodnot může pro zadané $ \lambda$ nabývat $ \mu$ (to bude pak $ n$, neboli dimenze odpovídající reprezentace).

Spočteme si proto komutátory (opět proveďte)

$\displaystyle [\vec{L}^2,L_{\pm}]=0\,,\quad [L_3,L_+]=L_+\,,\quad [L_3,L_-]=-L_-\,.$ (163)

Z těchto vztahů již snadno vypočítáme $ L_3L_+\vert\lambda,\mu\rangle =(L_+L_3+L_+)\vert\lambda,\mu\rangle =(\mu
+1)L_+\vert\lambda,\mu\rangle $, neboli vektor

$\displaystyle L_+\vert\lambda,\mu\rangle$ (164)

je buď nulový, nebo je to společný vlastní vektor operátorů $ \vec{L}^2$ a $ L_3$ s vlastními čísly $ \lambda$ a $ \mu+1$. Analogicky lze postupovat pro vektor

$\displaystyle L_-\vert\lambda,\mu\rangle \,,$ (165)

jenom s tou změnou, že nyní je to vlastní vektor $ L_3$ s vlastním číslem $ \mu-1$. V tomto snad shledáváte onu podobnost $ L_+$, $ L_-$ s kreačním a anihilačním operátorem u harmonického oscilátoru; pro operátory $ L_\pm$ se proto také používá název ladder-operátory (žebříkové operátory).

Abychom mohli najít normu vektorů (164,165) a zjistit tak, kdy jsou nenulové, vypočítáme z (163)

$\displaystyle L_+L_-=\vec{L}^2-L_3^2+L_3\,,$

$\displaystyle L_-L_+=\vec{L}^2-L_3^2-L_3\,.$

Díky $ L_+^\dagger =L_-$ (ověřte) jsou potom kvadráty norem těchto vektorů (používáme Diracovu notaci: $ \langle\vec{a}\vert =(\vert\vec{a}\rangle )^\dagger$)

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccccccccccc} \vert L_+\vert\lambda,\mu\rangle...
...L_+L_-\vert\lambda,\mu\rangle =\lambda-\mu(\mu-1)\,.\end{array}\end{displaymath} (166)

Protože kvadrát normy nemůže být záporný, dostáváme takto soustavu dvou kvadratických nerovnic pro $ \mu$ ($ \lambda$ je teď pevné), kterou je třeba vyřešit. Lze si například uvědomit, že musí být $ \mu_{min}\le
\mu\le\mu_{max}$, kde

$\displaystyle \lambda=\mu_{max}(\mu_{max}+1)\,,$

$\displaystyle \lambda=\mu_{min}(\mu_{min}-1)\,,$

z čehož můžeme $ \mu_{max}$, $ \mu_{min}$ vypočítat; můžeme si ještě ušetřit polovinu práce, pokud tyto rovnosti odečteme a výsledek mírně upravíme:

$\displaystyle (\mu_{max}-\mu_{min}+1)(\mu_{max}+\mu_{min})=0\,.$

Odtud s využitím $ \mu_{max}>\mu_{min}$ plyne, že musí být $ \mu_{max}=-\mu_{min}$. Zdůrazněme ještě jeden důsledek (166): vektor $ \vert\lambda,\mu_{max}\rangle $ je jediný vektor báze $ \{\vert\lambda,\mu\rangle \}$, který splňuje $ L_+\vert\lambda,\mu\rangle =0$ (podobně pak $ L_-\vert\lambda,\mu_{min}\rangle =0$).

To ale není vše: jelikož $ L_+$ i $ L_-$ mění vlastní číslo $ \mu$ o jedničku, musí se $ \mu_{max}$ a $ \mu_{min}$ lišit o celé číslo a zároveň vlastní číslo $ \mu$ může nabývat pouze hodnot $ \mu_{min},\mu_{min}+1,\ldots ,\mu_{max}$. Pokud by existovalo obecné vlastní číslo $ \mu$, které by se například od $ \mu_{max}$ lišilo o necelé číslo, mohli bychom pomocí $ L_+$ doskákat až těsně pod $ \mu_{max}$ (tedy získali bychom z  $ \vert\lambda,\mu\rangle $ vlastní vektor $ \vert\lambda,\mu'\rangle $, $ \mu_{max}>\mu'>\mu_{max}-1$) a dalším krokem jej přeskočit, čímž bychom vytvořili vlastní vektor s vlastním číslem $ \mu'+1>\mu_{max}$. Stejnou úvahu zopakujeme pro $ \mu_{min}$ a závěr tedy je, že pro každé vlastní číslo $ \mu$ musí být $ \mu_{max}-\mu$ i $ \mu-\mu_{min}$ nezáporné celé číslo, a proto je i $ \mu_{max}-\mu_{min}$ celé číslo. Díky $ \mu_{max}=-\mu_{min}$ pak může být jedině $ \mu_{max}=0,\frac{1}{2},
1,\frac{3}{2},\ldots$.

Můžeme tedy uzavřít (už ve standardním značení): ireducibilní reprezentace naší algebry (která je izomorfní k  $ {\mbox{{\goth su}}}(2)$) lze očíslovat vlastními čísly operátoru $ \vec{L}^2$ a ty mohou nabývat pouze hodnot $ \lambda=j(j+1)$, kde $ j=\mu_{max}$ je nezáporné celé, nebo polocelé číslo ($ \lambda$ jsou tedy možná vlastní čísla $ \vec{L}^2$). Tyto reprezentace mají dimenzi $ n=2j+1$ (to je počet povolených hodnot $ \mu$, čili dimenze vlastního prostoru $ \vec{L}^2$ k vlastnímu číslu $ \lambda$) a $ L_3$ na něm má vlastní hodnoty $ m=-j,-j+1,\dots,j-1,j$.

Dodejme, že pokud jsou všechny $ \vert j,m\rangle $ normovány na jedničku, pak (166) říká, že

$\displaystyle L_{\pm}\vert j,m\rangle =\alpha^{(\pm)}_{jm}\vert j,m\pm1\rangle \,,$ (167)

kde $ \alpha^{(\pm)}_{jm}=\sqrt{j(j+1)-m(m\pm1)}$. Použili jsme přitom konvenci, ve které jsme koeficienty před $ \vert j,m\rangle $ na pravé straně (167) zvolili reálné kladné. Ze vztahu (167) také plyne, že pokud by pro zadané $ j,m$ existovalo $ n$ nezávislých vektorů $ \vert j,m,1\rangle ,\ldots,\vert j,m,n\rangle $, pak by jich muselo být pro všechna $ m=-j,\ldots,j$ stejně. Vektory $ \vert j,-j,i\rangle ,\ldots,\vert j,j,i\rangle $ potom tvoří invariantní prostory $ L_+$ a $ L_-$, a tedy i $ L_1$, $ L_2$. Tato situace tedy u ireducibilních reprezentací nemůže nastat.

V reprezentaci dimenze $ n=2j+1$ lze tedy operátoru $ L_3$ přiřadit diagonální matici (s vlastními čísly $ -j,-j+1,\ldots, j$) a operátorům $ L_-$, $ L_+$ nilpotentní matice stupně $ n$ (přímo ve tvaru Jordanovy buňky). Například pro $ j=\frac{1}{2}$ dostáváme

$\displaystyle L_+=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 0 & 1\cr 0 & 0\end{array}\...
...{array}{ccccccccccccc} \frac{1}{2}& 0\cr 0 & -\frac{1}{2}\end{array}\right)\,,
$

tedy $ \{L_1,L_2,L_3\}$ jsou Pauliho matice $ \{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}$ (násobené $ \frac{1}{2}$, viz příklad 6.1).

Zdůrazněme, že k tomuto výsledku jsme potřebovali znát pouze komutační relace mezi $ L_1,L_2,L_3$ a nikoliv jejich tvar například v $ x$-reprezentaci.

$ \ast$TB,KV$ \ast$