Klasifikace kvadrik aneb Vzorečky, vzorečky

Úkol: Mějme kvadriku v  {\bb R}$ ^3$ zadanou rovnicí

$\displaystyle \sum_{i,j=1}^3a_{ij}x_ix_j+\sum_{i=1}^32a_{i4}x_i+a_{44}=0,\quad a_{ij}=a_{ji}\,.$ (168)

Označme

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}...
...2}&a_{13}\cr
a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr
a_{31}&a_{32}&a_{33}\cr\end{array}\right).$

Dokažte, že výrazy

$\displaystyle \Delta =\mathop{\rm det}\nolimits A\,,\qquad
\delta =\mathop{\rm det}\nolimits B\,,\qquad
s=\mathop{\rm Tr}\nolimits B\,,
$

$\displaystyle t=\mathop{\rm det}\nolimits B_{11}+\mathop{\rm det}\nolimits B_{2...
...{array}{ccccccccccccc} a_{11}&a_{31}\cr a_{13}&a_{33}\cr\end{array}\right\vert
$

jsou invarianty vzhledem k posunutí a otočení v  {\bb R}$ ^3$ a nalezněte vztah mezi těmito invarianty a typem kvadriky.


Řešení: Přejdeme do projektivního prostoru, kde bod $ \vec{x}=(x_1,\allowbreak x_2,\allowbreak x_3)\in${\bb R}$ ^3$ popíšeme vektorem $ \widetilde{\vec{x}}=(x_1,x_2,x_3,1)$. Pokud přijmeme tuto konvenci, můžeme zapsat kvadriku (168) ve tvaru $ \widetilde{\vec{x}}^T A\widetilde{\vec{x}}=0$, kde $ A$ je matice $ 4\times 4$ definovaná v zadání.

Výhodou projektivního prostoru je, že operace posunutí a otočení v  {\bb R}$ ^3$ v něm lze vyjádřit lineárními zobrazeními. Matice posunutí o  $ (dx,dy,dz)$ je

$\displaystyle P_p=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0&dx\cr
0&1&0&dy\cr
0&...
...ccccccc} 1&0&0&-dx\cr
0&1&0&-dy\cr
0&0&1&-dz\cr
0&0&0&1\cr\end{array}\right)\,,$

ověřte, že $ P_p(x,y,z,1)^T=(x+dx,y+dy,z+dz,1)$. Podobně je matice otočení (případně otočení se zrcadlením)

$\displaystyle P_o=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} &&&0\cr
&H&&0\cr
&&&0\cr
0...
...y}{ccccccccccccc} &&&0\cr
&H^{-1}&&0\cr
&&&0\cr
0&0&0&1\cr\end{array}\right)\,,$

kde $ H$ je nějaká ortogonální matice ( $ HH^T=\mathbbm{1}$); můžete opět ověřit, že $ P_o(x,y,z,1)^T$ je vektor, jehož první tři složky jsou $ H(x,y,z)^T$ a poslední složka je $ 1$. Obecná transformace (otočení a posunutí) je pak

$\displaystyle P_pP_o=P=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} &&&dx\cr
&H&&dy\cr
&&&dz\cr
0&0&0&1\cr\end{array}\right),\quad\hbox{$H$ ortogonální}.$

Po transformaci $ \widetilde{\vec{x}}'=P\widetilde{\vec{x}}$ má rovnice transformované kvadriky tvar

$\displaystyle 0=\widetilde{\vec{x}}^T A\widetilde{\vec{x}}=(\widetilde{\vec{x}}...
...
A P^{-1}\widetilde{\vec{x}}'=(\widetilde{\vec{x}}')^TA'\widetilde{\vec{x}}'\,
$

a na nás nyní je, abychom ukázali, že výrazy $ \Delta',\,\delta',\,s'$ a $ t'$ pro matici $ A'$ vyjdou stejně jako výrazy $ \Delta,\,\delta,\,s$ a $ t$ pro matici $ A$, nezávisle na transformaci $ P$.

Nejprve si uvědomíme, že matice $ B$ se při transformaci $ P$ mění podle pravidla $ A'_{44}=B'=(H^T)^{-1}BH^{-1}$, přičemž $ H^TH=\mathbbm{1}$ a $ \vert\mathop{\rm det}\nolimits P\vert=\vert\mathop{\rm det}\nolimits
H\vert\cdot 1=1$. Z toho

$\displaystyle \Delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits P^{T}A'P=(\mathop{\rm det}\nolimits P)^2\mathop{\rm det}\nolimits A'=\Delta'\,,$  
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits H^TB'H=\mathop{\rm det}\nolimits B'\mathop{\rm det}\nolimits H^TH=\delta'\,,$  
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \mathop{\rm Tr}\nolimits H^TB'H=\mathop{\rm Tr}\nolimits B'HH^T=s'\,.$  

Zbývá ukázat invarianci $ t$. To je ale snadno vidět z libovolného ze vztahů (druhá rovnost platí pouze pokud $ B^{-1}$ existuje)

$\displaystyle t=\frac{1}{2}\big[(\mathop{\rm Tr}\nolimits B)^2-\mathop{\rm Tr}\nolimits B^2\big]=\mathop{\rm det}\nolimits B\mathop{\rm Tr}\nolimits B^{-1}\,,
$

kde jsme $ t$ vyjádřili pomocí invariantních výrazů (invariance $ \mathop{\rm Tr}\nolimits
B^{-1}$ se ověří podobně jako pro $ \mathop{\rm Tr}\nolimits B$). Při odvozování těchto vztahů je klíčové si uvědomit, že $ t$ je koeficient u lineárního členu v  $ \mathop{\rm det}\nolimits (B-\lambda\mathbbm{1})$, tedy $ t=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3$, kde $ \lambda_{1,2,3}$ jsou vlastní čísla matice $ B$.


Nyní se věnujme otázce, jak souvisí invarianty $ \Delta,\delta,s,t$ s typem kvadriky. Povolenými úpravami (tzn. transformacemi $ P$; konkrétní provedení viz v příkladech 17.2,17.3 a dalších) převedeme matici $ B$ na diagonální tvar (vhodným otočením) a podle možností vynulujeme koeficienty $ a_{j4}$ (vhodným posunutím). Tím dosáhneme nakonec jednoho z následujících středových tvarů (tyto tvary budeme charakterizovat pomocí znamének $ \Delta,\delta,s,t$)

$ \bullet$
$ a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+a_{44}=0$, $ \mathop{\rm sgn}\nolimits a_{11}=\mathop{\rm sgn}\nolimits a_{22}=\mathop{\rm sgn}\nolimits a_{33}\ne0$. To je pro $ \mathop{\rm sgn}\nolimits
a_{11}a_{44}<0$ rovnice elipsoidu, pro $ a_{44}=0$ je to rovnice, již splňuje jediný bod a v posledním případě $ \mathop{\rm sgn}\nolimits
a_{11}a_{44}>0$ tato rovnice nemá řešení.
Z toho, co víme o  $ a_{11},a_{22},a_{33},a_{44}$, můžeme již určit, jaká budou v jednotlivých případech znaménka invariantů:
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}\ne0,$  
$\displaystyle s\delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_{11}+a_{22}+a_{33})a_{11}a_{22}a_{33}>0,$  
$\displaystyle t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{11}a_{22}+a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}>0,$  
$\displaystyle \Delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}\left\{\begin{array}{lllll}
<0&\quad elip...
...ad bod\hfill\cr
>0&\quad \mbox{imaginární elipsoid}\hfill\cr
\end{array}\right.$  

$ \bullet$
$ a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+a_{44}=0$, $ \mathop{\rm sgn}\nolimits a_{11}=-\mathop{\rm sgn}\nolimits a_{22}=-\mathop{\rm sgn}\nolimits a_{33}\ne0$. Toto je rovnice hyperboloidu. Obecně platí $ \delta\ne0$ a alespoň jedna z možností

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccccccc} \vert a_{11}\vert\le\vert a_{22...
...cr
&\hskip1.5cm-(a_{22}+a_{33})^2+a_{22}a_{33}<0\,.\end{array}\end{displaymath}

Podle znaménka $ a_{44}$ je pak nutné rozhodnout, zda je to jednodílný či dvoudílný hyberboloid anebo kužel. Jednoduše to lze zjistit tak, že určíme řez kvadriky rovinami $ x=0$, $ y=0$ či $ z=0$: například $ x^2-y^2-z^2-1=0$ je rovnice dvoudílného hyperboloidu, neboť rovina $ x=0$ má s touto kvadrikou prázdný průnik ( $ -y^2-z^2=1$) a odděluje jeho dva díly. Naopak $ x^2+y^2-z^2-1=0$ popisuje jednodílný (rotační) hyperboloid, neboť žádná z rovin $ x=0$, $ y=0$ ani $ z=0$ s ním nemá prázdný průnik.

$\displaystyle \Delta\left\{\begin{array}{lllll}
<0&\quad \mbox{dvoudílný hyper...
...l}\hfill\cr
>0&\quad \mbox{jednodílný hyperboloid}\hfill\cr
\end{array}\right.
$

$ \bullet$
$ a_{14}x+a_{22}y^2+a_{33}z^2=0$, $ a_{14}\ne0,a_{22}\ne0,a_{33}\ne0$. V tomto případě máme co do činění s paraboloidem; obecně platí $ \delta=0$, $ \Delta
t<0$ a podle znaménka $ a_{22}a_{33}$ rozhodneme, zda je to paraboloid hyperbolický či eliptický. Pro $ a_{22}=\vert a_{22}\vert$, $ a_{33}=-\vert a_{33}\vert$ je průnik kvadriky s rovinou $ x=-1$ hyperbola $ \vert a_{22}\vert y^2-\vert a_{33}\vert z^2=a_{14}$. V případě $ a_{22}=\vert a_{22}\vert$, $ a_{33}=\vert a_{33}\vert$ je průnik s touto rovinou $ x=-1$ (budiž $ a_{14}>0$) elipsa $ \vert a_{22}\vert y^2+\vert a_{33}\vert z^2=a_{14}$, takže závěr je

$\displaystyle \Delta=-a_{14}^2a_{22}a_{33}\left\{\begin{array}{lllll} <0&\quad ...
...d}\hfill\cr
>0&\quad \mbox{hyperbolický paraboloid}\hfill\cr\end{array}\right.
$

$ \bullet$
$ a_{22}y^2+a_{33}z^2+a_{44}=0$, $ a_{22}\ne0,a_{33}\ne0$. V rovnici se vůbec nevyskytuje proměnná $ x$, průnik kvadriky se všemi rovinami $ x=c$, $ c\in${\bb R}, je stejný, a plocha je tedy ve směru $ x$ translačně invariantní (je to ,,válec''). Zda je jeho průřez elipsa či hyperbola, rozhodneme podle znamének $ a_{22}$, $ a_{33}$. Obecně v tomto případě platí $ \delta=\Delta=0$ a dále

$\displaystyle t\left\{\begin{array}{lllll} >0&\quad \mbox{eliptická válcová plo...
...$})\cr
<0 &\quad \mbox{hyperbolická válcová plocha}\hfill\cr\end{array}\right.
$

$ \bullet$
$ a_{24}y+a_{33}z^2=0$, $ a_{24}\ne0,a_{33}\ne0$. Tento případ je podobný předchozímu bodu, jedná se o parabolickou válcovou plochu. Není potřeba rozlišovat žádné případy: $ \delta=\Delta=t=0$, $ s\ne0$.

$ \bullet$
$ a_{33}z^2+a_{44}=0$, $ a_{33}\ne0$. Tato rovnice popisuje pro $ a_{44}a_{33}<0$ dvojici rovin $ z=\pm
\sqrt{-a_{44}/a_{33}}$, pro $ a_{44}=0$ je to rovina jediná a pro $ a_{44}>0$ je to prázdná množina. Invarianty jsou $ \delta=\Delta=t=0$ a $ s\not=0$.

$ \bullet$
$ a_{34}z=0$, $ a_{34}\ne0$. Kvadrika s invarianty $ \delta=\Delta=t=s=0$ může být tedy například rovina.

to
Kvadriky v {\bb R}$ ^3$
$ a,b,c,d>0$
Elipsoid

(koule, rotační, trojosý)
Hyperboloid jednodílný

(rotační či eliptický)
$ ax^2+by^2+cz^2=1$
$ ax^2+by^2-cz^2=d$
\includegraphics[angle=-90,scale=0.18]{OBRAZKY/elips.epsi} \includegraphics[angle=-90,scale=0.18]{OBRAZKY/hbld1.epsi}
Hyperboloid dvojdílný

(rotační či eliptický)
Kužel
$ ax^2+by^2-cz^2=-d$
$ ax^2+by^2-cz^2=0$
\includegraphics[angle=-90,scale=0.18]{OBRAZKY/hbld2.epsi} \includegraphics[angle=-90,scale=0.18]{OBRAZKY/kuzel.epsi}
Paraboloid

(rotační či eliptický)
Paraboloid

(hyperbolický)
$ ax^2+by^2-cz=0$
$ ax^2-by^2-cz^2=0$
\includegraphics[angle=-90,scale=0.18]{OBRAZKY/pbld.epsi} \includegraphics[angle=-90,scale=0.18]{OBRAZKY/pbhb.epsi}

Shrnutí:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccccccccccccc}
\delta\ne0&
\left\{\begin{arr...
... případy}
\end{array}\right.\cr
\end{array}\right.\end{array}\end{displaymath}

$ \ast$ZD$ \ast$