Klasifikace kvadrik aneb Jak to vymyslet sám

Úkol: V prostoru {\bb R}$ ^3$ je zadána kvadrika rovnicí $ 7x^2+7y^2+10z^2-2xy-4xz+4yz-12x+12y+60z+42=0
$. Určete typ kvadriky, velikosti a směry jejích os.


Řešení: Nejdříve zavedeme označení

$\displaystyle A=\left(
\begin{array}{ccc}
7 & -1 & -2 \\
-1 & 7 & 2 \\
-2 & 2...
...2, 12, 60)\,,\
\vec{x}=\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right),
$

které nám umozní zapsat rovnici kvadriky ve tvaru $ {\vec{x}}^TA\vec{x} + L \vec{x} + 42 =0$. Typ kvadriky a její parametry umíme snadno zjistit, pokud známe její rovnici v tzv. středovém tvaru. Například středový tvar rovnice elipsoidu je (viz také příklad 17.1)

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\,,
$

kde $ a$, $ b$, $ c$ jsou velikosti poloos. Zkusme tedy najít takovou souřadnou soustavu (resp. vhodnou bázi), ve které bude rovnice naší kvadriky ve středovém tvaru.

Nejdříve se zbavíme smíšených členů v rovnici kvadriky (členy $ xy,\ xz,\ yz$). Toho dosáhneme pomocí pootočení souřadného systému tak, aby $ A$ měla v novém souřadném systému nenulové prvky pouze na diagonále. Jinak: hledáme takovou ortogonální matici $ U$, aby platilo

$\displaystyle D=U^T A U\,,
$

kde $ U^T=U^{-1}$ a $ D$ je diagonální matice. Díky $ A=A^T$ víme, ze taková ortogonální matice $ U$ bude existovat a dokonce máme i recept jak ji najít. Matice $ U$ bude mít ve sloupcích vlastní vektory matice $ A$ a matice $ D$ bude mít na diagonále vlastní čísla matice $ A$. Otočení souřadného systému lze pak vyjádřit jako $ \vec{x}_R=U^T \vec{x}$ neboli $ \vec{x}=U \vec{x}_R$. Provedením této substituce dostaneme $ {\left(U\vec{x}_R \right)}^TA{\left(U\vec{x}_R
\right)} +LU\vec{x}_R+42=0$, coz je

$\displaystyle {\vec{x}_R}^TD\vec{x}_R+LU\vec{x}_R+42=0\,.$

V této rovnici jiz nejsou smíšené členy. Budou se zde vyskytovat pouze členy typu $ x$ a $ x^2$. Lineárních členů se pak snadno zbavíme doplňováním na čtverec.

Realizujme nyní výše uvedený postup. Nejprve najdeme vlastní čísla matice $ A$.

\begin{multline*}
\mathop{\rm det}\nolimits \left(A-\lambda \mathbbm{1}\right)=
...
...da+432=
-\left( \lambda - 6\right)^2\left(\lambda - 12\right)\,.
\end{multline*}

Dále je třeba najít vlastní vektory matice $ A$. Víme, ze budou existovat dva lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu $ 6$, a jeden vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu $ 12$. Soustavu $ \left(A-6\mathbbm{1}\right)\vec{v}=0$ řeší všechny vektory ve tvaru

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
2t+s \\
s \\
t
\end{array}\right),
\end{displaymath}

kde $ t$ a $ s$ jsou libovolná. Zvolme $ (1,1,0)^T$ a $ (-1,1,-1)^T$ jako navzájem kolmé vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu $ 6$. Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu $ 12$ je řešením rovnice $ \left(A-12\mathbbm{1}
\right)\vec{v}=0$. Řešením této rovnice je libovolný vektor tvaru

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
-u\\
u \\
2u
\end{array}\right),
\end{displaymath}

kde $ u$ je libovolné. Zvolme vektor $ (-1,1,2)^T$.

Máme tedy tři nezávislé vlastní vektory matice $ A$ a můzeme proto sestavit matici $ U$. Než je ale zapíšeme do sloupců matice $ U$, musíme je nejdříve nanormovat tak, aby měly jednotkovou velikost. Jinak by totiz matice $ U$ měnila při transformaci délku vektorů ($ UU^T$ by nebylo $ \mathbbm{1}$, ale pouze diagonální matice). Matice $ U$ a k ní inverzní matice $ U^{-1}=U^T$ má tvar

\begin{displaymath}U=
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\...
... & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{\sqrt{6}}
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Po provedení substituce $ \vec{x}=U \vec{x}_R$ má rovnice kvadriky tvar

$\displaystyle 6x_R^2 +6y_R^2 +12z_R^2-
\frac{36}{\sqrt{3}}y_R +\frac{144}{\sqrt{6}}z_R +42=0\,.$

V této rovnici provedeme ,,doplnění na čtverec'' a dostaneme

$\displaystyle 6x_R^2+ 6\left( y_R- \sqrt{3}\right)^2 +12\left( z_R+ \sqrt{6}\right)^2=48\,.
$

Nyní ještě posuneme počátek souřadnic
$\displaystyle x_T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_R$  
$\displaystyle y_T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_R - \sqrt{3}$  
$\displaystyle z_T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle z_R + \sqrt{6}$  

a rovnice kvadriky je v tomto posunutém systému souřadnic

$\displaystyle \frac{x_T^2}{8}+\frac{y_T^2}{8}+\frac{z_T^2}{4}=1,
$

coz je jiz středový tvar rovnice kvadriky, a sice rotačního elipsoidu. Odtud snadno odečteme velikosti poloos $ a=2\sqrt{2}$, $ b=2\sqrt{2}$, $ c=2$; transformace (změna báze), kterou jsme provedli pomocí matice $ U$, byla ortogonální, neměnily se tedy vzdálenosti, a tudíž platí tyto délky poloos i pro kvadriku před transformací.

Další informací, kterou je mozno získat, je poloha středu elipsoidu v původní souřadné soustavě. Pokud je rovnice kvadriky ve středovém tvaru, jsou souřadnice jejího středu $ (0,0,0)$. Popišme polohu středu pomocí polohového vektoru z počátku do středu kvadriky, a sledujme jak se tento vektor bude měnit, když se budeme posloupností transformací, které vedly na středový tvar vracet zpět:

$\displaystyle \vec{c}_T=(0,0,0)^T\ \to\ \vec{c}_R=(0,\sqrt{3},-\sqrt{6})^T\ \to\
\vec{c}=U\vec{c}_R=(0,0,-3)^T\,.
$

Osy elipsoidu lezí na přímkách určených vlastními vektory matice $ A$ a středem elipsoidu. Poloosy, které mají délku $ a=b=2\sqrt{2}$ lezí v rovině určené vlastními vektory $ (1,1,0)^T$, $ (-1,1,-1)^T$ a poloosa $ c=2$ na přímce určené $ (-1,1,2)^T$ (to je také rotační osa). Lze se o tom samozřejmě přesvědčit i tak, že například osu příslušnou poloose $ c=2$, která je v otočených souřadnicích $ \vec{c}_R=(0,0,1)^T$, otočíme zpět: $ \vec{c}=U\vec{c}_R=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,1,2)^T$.

$ \ast$VP$ \ast$