Diagonalizace kvadratické formy: řádkové a sloupcové úpravy

Úkol: Převeďte následující kvadratickou formu na kanonický tvar a uveďte příslušnou lineární transformaci

$\displaystyle Q(\vec{x}) = 2x_1^2+ 3x_2^2+ 4x_3^2- 2x_1x_2+ 4x_1x_3- 3x_2x_3\,.
$

Uveďte název kvadriky $ Q(\vec{x})=1$.


Řešení: Matice $ A$, která reprezentuje uvedenou kvadratickou formu, má tvar

$\displaystyle A\ =\ \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2 &-1 &2\cr
-1 & 3 & -{3\over2}\cr
2 & -{3\over2} & 4\cr
\end{array}\right)
$

Pomocí řádkových a ekvivalentních sloupcových úprav ji umíme převést na diagonální tvar

$\displaystyle A\ =\ \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2 &-1 &2\cr
-1 & 3 & -{3...
...htarrow}{\begin{array}{c}\mbox{stejné úpravy}\cr \mbox{se
sloupci}\end{array}}
$

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2 & 0 & 0 \cr
0 & 10 & -1\cr
0...
...rray}{ccccccccccccc} 2 &0& 0 \cr
0 &10 &0\cr
0 &0 &190\cr\end{array}\right)= D
$

Kvadratická forma má tedy v určitých souřadnicích tvar

$\displaystyle Q'(\vec{y})= 2y_1^2 + 10y_2^2 + 190y_3^2\,.$ (169)

Tím chceme říct: existuje báze $ B$, že platí

$\displaystyle \vec{x}^T A\vec{x}=Q(\vec{x})=Q'(\vec{y})=\vec{y}^T D\vec{y}\,,\qquad
\forall \vec{x}\in${\bb R}$\displaystyle ^3\,,
$

kde $ \vec{y}$ je vektor složek $ \vec{x}$ vůči této bázi $ B$. Aniž bychom dále pátrali po této bázi, poznáváme v kvadrice $ Q(\vec{x})=Q'(\vec{y})=1$ již teď elipsoid.

Souvislost mezi $ \vec{x}$ a $ \vec{y}$ (lineární transformaci) ale nyní přece jenom najdeme. Řádkové úpravy, které jsme podnikli s maticí $ A$, přepíšeme do matice $ M$, tedy takové matice, že $ MA$ je matice $ A$ po těchto řádkových úpravách. Uvědomte si, že například první řádek $ MA$ je lineární kombinace řádků $ A$, a koeficienty této kombinace jsou prvky v prvním řádku $ M$.

Tato matice $ M$ se bude rovnat součinu matic, které reprezentují jednotlivé kroky. Například: první krok, který říká, že druhý řádek bude rovný dvojnásobku druhého plus první, třetí řádek bude rovný součtu třetího a prvního a s prvním řádkem se nic neděje, vypadá v matici $ M_1$ následovně (podobně druhý krok $ \to M_2$):

$\displaystyle M_1\ =\ \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 &0 &0 \cr
1& 2 & 0\c...
...begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 0&0\cr
0 &1&0\cr
0 &1 &10\cr\end{array}\right)
$

Vyzkoušejte si, že $ M_1A$ je skutečně matice $ A$ po prvním kroku úprav.

Podobně lze matici $ A$, v níž jsme provedli nějaké sloupcové úpravy, zapsat jako $ AN$ (opět: první sloupec $ AN$ je lineární kombinací sloupců $ A$, koeficienty najdete v prvním sloupci $ N$). Skutečnost, že jsme prováděli ,,stejné'' řádkové a sloupcové úpravy, znamená $ N=M^T$.

Celkem jsme vykonali na matici $ A$ sérii úprav

$\displaystyle A\ \to\ MAM^T=M_2M_1AM_1^TM_2^T=D\,,\qquad
M = \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & 0 & 0 \cr
1 & 2 & 0 \cr
-9 & 2 & 10 \cr\end{array}\right)\,,
$

a tudíž dostáváme

$\displaystyle \vec{x}^T A\vec{x}=\vec{x}^TM^{-1} D(M^{-1})^T\vec{x}\,,
$

neboli hledaná lineární transformace je $ \vec{y}=(M^{-1})^T\vec{x}$. Po dopočtení dostáváme

$\displaystyle (M^T)^{-1} =\ \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1 & -{1\over2} & 1 \cr
0 & {1\over2} & -{1\over10} \cr
0 & 0 & {1\over10} \cr\end{array}\right)
$

$\displaystyle y_1 = x_1\ -\ {1\over2}x_2\ +\ x_3\,,\quad
y_2 = {1\over2}x_2\ -\ {1\over10}x_3\,,\quad
y_3 = {1\over10}x_3\,.
$

Nevýhoda tohoto postupu je, že transformace $ \vec{y}=(M^{-1})^T\vec{x}$ není ortogonální, a tedy nezachovává délku vektorů. Proto nelze z tvaru (169) přímo odečíst například délky poloos elipsoidu $ Q(\vec{x})=1$.

$ \ast$MB,ZV$ \ast$