Signatura kvadratické formy

Úkol: Kvadratickou formu

$\displaystyle Q(\vec{x})=2x_1^2+9x_2^2+8x_3^2+8x_1x_2-4x_1x_3-10x_2x_3
$

převeďte na diagonální tvar pomocí současných řádkových a sloupcových úprav a ukažte, že je pozitivně definitní. Ověřte, že je splněno Sylvestrovo kritérium.


Řešení: Pro kvadratickou formu platí

$\displaystyle Q(\vec{x})=\sum A_{ij}\alpha^i\alpha^j\,,\qquad
\vec{x}=\sum \vec{e}_i\alpha^i\,,
$

kde $ \vec{e}_i$ je libovolná báze prostoru $ V$. Víme, že existuje báze, pro kterou je matice formy diagonální. Hledáme tedy diagonální matici $ D$ a transformační matici $ E$, pro které platí

$\displaystyle D_{ij}=\sum A_{kl} E_i^k E_j^l
$

Nejprve převedeme analytický zápis formy na maticový. Zvolme za $ \vec{e}_i$ kanonickou bázi a vyjádřeme matici $ A$ kvadratické formy $ Q$ vzhledem k této bázi

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2&4&-2\cr 4&9&-5\cr -2&-5&8\end{array}\right)
$

Diagonalizaci provádíme po vzoru gaussovské eliminace, ale řádkové úpravy doplňujeme o stejné sloupcové úpravy. Proces můžeme rozdělit na několik kroků, z nichž každý je popsán dílčí transformační maticí $ E_i$:

$\displaystyle E_n\ldots E_1 A E_1^T\ldots E_n^T = D
$

První krok je

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0\cr -2&1&0\cr 1&0&1\end{a...
...eft(\begin{array}{ccccccccccccc} 2&0&0\cr 0&1&-1\cr0&-1&6\end{array}\right)\,,
$

druhý krok

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&1&1\end{ar...
...=\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2&0&0\cr 0&1&0\cr0&0&5\end{array}\right)\,
$

a dohromady tedy

$\displaystyle E=E_2E_1=
\left(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0\cr 0&1&0\cr 0...
...ft(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&0&0\cr -2&1&0\cr -1&1&1\end{array}\right)\,.
$

Matice kvadratické formy v diagonálním tvaru tedy je

$\displaystyle D= \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 2&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&5\end...
...ft(\begin{array}{ccccccccccccc} 1&-2&-1\cr 0&1&1\cr 0&0&1\end{array}\right)\,,
$

a jelikož jsou všechny prvky na diagonále matice $ D$ kladné, je matice $ A$ pozitivně definitní, a tedy i forma $ Q$ je pozitivně definitní.

Výpočet si můžeme ještě ověřit pomocí Sylvestrova kritéria. Všechny hlavní minory matice $ A$ musí být kladné:

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{rr@{}rr@{}r}
2 &\vline& 4 &\vline&\ -2\...
...\,,\cr \hfill\mathop{\rm det}\nolimits A&=&10&>&0\,.\end{array}\end{displaymath}

Pozitivní definitnost $ Q(\vec{x})$ je potvrzena.

$ \ast$JZ$ \ast$