Signatura stručně

Úkol: Dokažte, že je následující matice pozitivně definitní.

$\displaystyle A = \left(\begin{array}{ccccccccccccc} 9 & -1 & 4\cr -1 & 3 & -2\cr 4 & -2 & 4\cr \end{array}\right)
$


Řešení: Příklad budeme řešit pomocí Sylvestrova kritéria. Spočteme subdeterminanty matice $ A$ (viz příklad 17.5): $ \mathop{\rm det}\nolimits (a_{ij})_{i,j=1}^1=9$, $ \mathop{\rm det}\nolimits (a_{ij})_{i,j=1}^2=26$, $ \mathop{\rm det}\nolimits (a_{ij})_{i,j=1}^3=\mathop{\rm det}\nolimits A=36$. Všechny subdeterminanty jsou kladné, a $ A$ je tedy pozitivně definitní.

Úloha se dá řešit i jinak. Nalezneme vlastní čísla $ A$: označme je $ \lambda_{1,2,3}$. Zapíšeme obecný vektor $ \vec{x}\in${\bb R}$ ^3$ v bázi vlastních vektorů $ A$ a $ A\vec{x}$ zapíšeme pomocí spektrálního rozkladu $ A$

$\displaystyle \vec{x}=\alpha_1\vec{v}_1+\alpha_2\vec{v}_2+\alpha_3\vec{v}_3\qqu...
...lambda_1\alpha_1\vec{v}_1+\lambda_2\alpha_2\vec{v}_2+\lambda_3\alpha_3\vec{v}_3$

$\displaystyle \vec{x}^T A\vec{x}=\vert\alpha_1\vert^2\lambda_1+\vert\alpha_2\vert^2\lambda_2+\vert\alpha_3\vert^2\lambda_3\,.
$

Vidíme tedy, že diagonalizovatelná matice $ A$ je pozitivně definitní ( $ \vec{x}^T A\vec{x}>0$, $ \forall \vec{x}\ne 0$), právě když jsou všechna její vlastní čísla kladná. To je i případ matice $ A$: vlastní čísla jsou přibližně $ 3.49411$, $ 0.88673$, $ 11.6192$.


Úkol: Určete signaturu formy $ Q(\vec{x})=8x^2 - y^2 + 6z^2 + 12xy + 8xz$.


Řešení: Ze Sylvestrova kritéria plyne, že forma není pozitivně definitní, neboť $ \mathop{\rm det}\nolimits (a_{ij})_{i,j=1}^2=-44<0$, ani negativně definitní, jelikož ani $ -Q(\vec{x})$ není pozitivně definitní, $ \mathop{\rm det}\nolimits
(-a_{ij})_{i,j=1}^1=-8<0$.

Signaturu určíme tím, že nalezneme vlastní čísla matice $ Q$. Ježto to jsou $ 1$, $ -2$ a $ 4$, je signatura $ (+-+)$, neboli $ (2)_+$, $ (1)_-$, $ (0)_0$. Abychom získali tento výsledek, bývalo by stačilo také spočítat pouze determinant ($ -8$, jinak též součin vlastních čísel): víme, že alespoň jedno vlastní číslo je nekladné, alespoň jedno nezáporné a z hodnoty determinantu už pak plyne, že musí být dvě kladná a jedno záporné. Všimněte si také, že posloupnost minorů ($ 8,-44,-9$) nemá signaturu $ (+-+)$.

$ \ast$PV$ \ast$