Průmět průniku paraboly a nadroviny

Úkol: Uvažujme v  {\bb R}$ ^{n+1}$ plochu $ \alpha$ určenou rovnicí

$\displaystyle x_{n+1}=\sum_{i=1}^{n}x_i^2$

(rotační paraboloid) a poloprostor $ P$, jehož hraniční nadrovina není kolmá na nadrovinu o rovnici $ x_{n+1}=0$. Vytvořme nyní průnik $ \alpha$ a $ P$ a promítněme jej do nadroviny určené rovnicí $ x_{n+1}=0$; pro promítání použijte předpis $ (x_1,\ldots,x_n,x_{n+1})\mapsto (x_1,\ldots,x_n,0)$. Ukažte, že je tento průmět $ n$-dimenzionální koule nebo její doplněk.


Řešení: Doporučujeme nakreslit si situaci v  {\bb R}$ ^2$ (jednorozměrná koule je úsečka) a v  {\bb R}$ ^3$.

Uvažujme libovolný poloprostor $ P$ a jeho hraniční nadrovinu $ \pi$ -- ta je určená rovnicí $ a_0+\sum_{i=1}^{n+1}a_i x_i=0$, kde $ (a_1,\ldots,a_{n+1})$ je normála k $ \pi$. Podmínka o (ne)kolmosti hraniční nadroviny zaručuje, že platí $ a_{n+1}\not=0$ a můžeme tedy bez újmy na obecnosti předpokládat, že platí $ a_{n+1}=1$. Dosazením rovnice parabolické plochy $ \alpha$ do rovnice nadroviny $ \pi$ dostaneme

$\displaystyle a_0+\sum_{i=1}^{n}(a_i x_i+x_i^2)$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left(x_i+\frac{1}{2}a_i\right)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -a_0+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{4}a_i^2\,.$ (171)

Libovolná $ n$-tice $ x_1,\ldots,x_n$, která vyhovuje rovnici (171) spolu s  $ x_{n+1}=\sum_{i=1}^{n}x_i^2$ udává souřadnice bodu $ \vec{x}$, který leží v průniku $ \alpha$ a $ \pi$. Nás ale zajímá průmět této množiny do roviny $ x_{n+1}=0$, tedy můžeme poslední souřadnici $ \vec{x}$ zapomenout, a hledaný průmět je plně popsán rovnicí 171.

Průmět průniku $ \alpha$ s hraniční nadrovinou poloprostoru $ P$ je tedy hranice $ n$-dimenzionální koule (rovnice 171), a tudíž průmět poloprostoru $ P$ je $ n$-dimenzionální koule nebo její doplněk (případně prázdná množina nebo celý prostor). Z rovnice (171) je také vidět, že libovolnou $ n$-dimenzionální kouli nebo její doplněk, které leží v nadrovině určené rovnicí $ x_{n+1}=0$, lze získat jako průmět průniku vhodného poloprostoru s plochou $ \alpha$ ze zadání příkladu do nadroviny o rovnici $ x_{n+1}=0$.

$ \ast$DK$ \ast$