Poloha bodu vůči sféře

Úkol: Nechť $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^{n+1},\vec{y}\in$   {\bb R}$ ^n$. S využitím příkladů 17.7 a 8.7 určete, jak souvisí znaménko determinantu následující matice s polohou bodu $ \vec{y}$ vůči sféře určené body $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^{n+1}$; $ \vec{x}^i=(x^i_1,\ldots, x^i_n)$.

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccccc} x^1_1 & \ldots & x^1_n & \sum\limits_...
... & 1 \\ y_1 & \ldots & y_n & \sum\limits_{i=1}^{n}y_i^2 & 1 \end{array} \right)$ (172)


Řešení: Představme si bod $ (\vec{x}^j)'\in${\bb R}$ ^{n+1}$ ležící na ploše o rovnici $ x_{n+1}=\sum_{i=1}^{n}x_i^2$, jehož průmět do $ x_{n+1}=0$ je bod $ \vec{x}^j$. Bod $ (\vec{x}^j)'$ má souřadnice $ (x^j_1,\ldots,x^j_n,\sum_{j=1}^{n}(x^j_i)^2)$; podobně určíme k $ \vec{y}$ bod $ \vec{y}\,'\in${\bb R}$ ^{n+1}$. Vraťme se k výsledkům příkladu 17.7: definujme pomocí bodů $ (\vec{x}^1)',\ldots, (\vec{x}^{n+1})'$ nadrovinu $ \pi$ {\bb R}$ ^{n+1}$. Potom budou všechny body $ \vec{y}\,'$, které vznikly z bodů ležících $ \vec{y}$ uvnitř koule definované $ \vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^{n+1}$, ležet ve stejném poloprostoru (s hraniční polorovinou $ \pi$). Body $ \vec{y}$, které leží vně této koule, se zobrazí na body $ \vec{y}\,'$ ležící v opačném poloprostoru.

Určit polohu bodu $ \vec{y}\,'$ vzhledem k nadrovině definované body $ (\vec{x}^1)',\ldots, (\vec{x}^{n+1})'$ můžeme pomocí výsledků příkladu 8.7. Determinant (172) má stejné znaménko pro všechny body ležící uvnitř dané koule, opačné znaménko pro všechny body vně koule, a je nulový právě pro body ležící na její hranici.

$ \ast$DK$ \ast$