Chladící věže poprvé: {\bb R}$ ^3$

Úkol: Najděte rovnice tečen k jednodílnému hyperboloidu v  {\bb R}$ ^3$ v jeho libovolném bodě.


Řešení: Budeme se zabývat pouze problémem vést tečnu k hyperboloidu $ H$ bodem $ A$, kde

$\displaystyle H:\ x^2+y^2-z^2-1=0\,,\qquad A=[a,0,\sqrt{a^2-1}]\,.$ (173)

Pokud by byly $ H$ a $ A$ zadány obecněji, provedeme následující kroky

Nyní tedy k situaci popsané (173). Tečny budou ležet v tečné rovině. Určíme tedy její rovnici. Vezmeme-li funkci

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2-z^2\,, $

je hyperboloid (173) popsán rovnicí $ f(x,y,z)=1$; říkáme, že $ H$ je ekviskalární plocha funkce $ f(x,y,z)$ pro hodnotu 1. Pokud definujeme na {\bb R}$ ^{3}$ vektorové pole gradientu funkce $ f$

$\displaystyle \nabla f(x,y,z) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=
(2x,2y,-2z)\,, $

tedy každému bodu $ A=[x_0,y_0,z_0]$ přiřazujeme vektor $ \vec{n}(A)=(2x_0,2y_0,-2z_0)$, pak platí, že $ \vec{n}(A)$ je kolmý na tu ekviskalární plochu79 funkce $ f$, která prochází bodem $ A$, neboli $ f(x,y,z)=C$ $ C=f(x_0,y_0,z_0)$.

Shrnuto, normála k tečné rovině $ H$ v bodě $ A=[a,0,\sqrt{a^2-1}]$ je

$\displaystyle \vec{n} = (a,0,-\sqrt{a^2-1})\,, $

pro pohodlí jsme $ \vec{n}(A)$ dělili dvěma. Označme dále tečnou rovinu $ \varrho $. Z podmínky $ A\in \varrho$ dostaneme absolutní člen v rovnici roviny $ \varrho $, která pak zní $ \vec{n} \cdot\vec{x} - 1 = 0$.

Podívejme se blíže na přímky roviny $ \varrho $, které procházejí bodem $ A$; každou takovou přímku lze zapsat ve tvaru $ X=t\vec{u} + A$, $ t\in${\bb R}, kde $ \vec{u}$ je libovolný vektor kolmý na $ \vec{n}$. Jeden takový vektor $ \vec{u}$ je zřejmě

$\displaystyle \vec{r}=(\sqrt{a^2-1},0,a)\,. $

Ostatní vektory kolmé na $ \vec{n}$ vyjádřeme parametricky pomocí parametru $ \vartheta $ jakožto rotaci $ \vec{r}$ kolem $ \vec{n}$$ \vartheta $, tedy rotaci v rovině $ \vec{r}$, $ \vec{n}\times\vec{r}$ (viz příklad 10.1).

$\displaystyle \vec{u}(\vec{r},\vec{n},\vartheta) = \vec{r}\cos{\vartheta}+
(\vec{n} \times \vec{r})\sin{\vartheta}
$

Díky $ \vec{n}\times \vec{r}=(0,1,0)$ dostaneme

$\displaystyle \vec{u}=(\sqrt{a^2-1} \cos{\vartheta}, \sin{\vartheta}, a
\cos{\vartheta})\,,
$

a tedy kandidáty na tečny jsou přímky ( $ 0\le \vartheta <2\pi$)
$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle t \sqrt{a^2-1} \cos{\vartheta} + a$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle t \sin{\vartheta}$ (174)
$\displaystyle z~$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ta \cos{\vartheta} + \sqrt{a^2-1}\,.$  

Tečny jsou ovšem jenom ty přímky, které mají s hyperboloidem $ H$ společný právě jeden bod. Hledáme tedy, kdy má následující soustava rovnic řešení pouze pro $ t=0$:
$\displaystyle x^2+y^2-z^2-1$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle X$ $\displaystyle =$ $\displaystyle t \vec{u} + A\,.$  

Dosazením rovnic přímky (174) do rovnice hyperboloidu dostaneme

\begin{multline*}
(a^2-1)t^2\cos^{2}{\vartheta} + 2at\sqrt{a^2-1}\cos{\vartheta}...
...2}{\vartheta} - 2at\sqrt{a^2-1}\cos{\vartheta} - a^2 +
1 - 1 = 0
\end{multline*}

$\displaystyle t^2 ( \sin^{2}{\vartheta} - \cos^{2}{\vartheta} ) = 0\,.$

Pro $ \sin^{2}{\vartheta} \neq \cos^{2}{\vartheta}$ existuje jediné řešení (průnik přímky a hyperboloidu) pro $ t=0$, přímky jsou tedy skutečně tečny.

Pro $ \sin^{2}{\vartheta} = \cos^{2}{\vartheta}$ je řešením libovolné $ t\in$   {\bb R}, tedy přímky leží celé v hyperboloidu (jsou to průsečnice hyperboloidu a tečné roviny). Všimněte si, že to jsou právě dvě přímky a že je lze chápat jako kužel v  {\bb R}$ ^2$ (degenerovanou kuželosečku).

$ \ast$DKo,MZ$ \ast$