Chladící věže podruhé: {\bb R}$ ^n$

Úkol: Najděte rovnice tečen k jednodílnému hyperboloidu v  {\bb R}$ ^n$

$\displaystyle \sum^{n-1}_{i=1} x_i^2-x_n^2-1=0$ (175)

  1. v bodě $ B=[a,0,\ldots,0,\sqrt{a^2-1}]$,
  2. v obecném bodě $ B=[a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},\sqrt{\sum_{i=1}^{n-1}a_i^2-1}]$. Pro jednoduchost předpokládejte $ a_1\not=0$.


Řešení: 1. Nechť $ \{\vec{e}_i\}_{i=1}^{n}$ je kanonická báze $ V$. Najděme normálu k tečnému prostoru hyperboloidu v bodě $ B$ (značme jej $ T_B$), což je nyní $ (n-1)$-dimenzionální plocha. Podobně jako v příkladu 17.9 definujeme funkci

$\displaystyle f(\vec{x}) = \sum^{n-1}_{i=1} x_i^2-x_n^2
$

a hyperboloid je ekviskalární plocha této funkce pro hodnotu 1. Pole gradientu je

$\displaystyle \nabla f(\vec{x}) = (2x_1,2x_2,\ldots,2x_{n-1},-2x_n) $

a normálový vektor k hyperboloidu je vektor tohoto pole v bodě $ B$

$\displaystyle \vec{n} = \frac{1}{2} \nabla f(B)= (a,0,\ldots,0,-\sqrt{a^2-1})\,. $

Směrové vektory tečen leží v ortogonálním doplňku {\Cal L}$ (\vec{n})$. Najděme ortogonální bázi tohoto tečného podprostoru $ T_B$ (připomínáme $ \dim T_B = n-1$). Bázové vektory snadno uhodneme (ověřte $ \vec{v}_i\cdot \vec{n}=0$)

$\displaystyle \vec{v}_1=(\sqrt{a^2-1},0,\ldots,0,a)\,,\qquad
\vec{v}_i=\vec{e}_i \quad i=2,\ldots, n-1\,.$

Obecná tečná přímka k hyperboloidu v bodě $ B$ má směrový vektor $ \vec{u} \in T_B$, který lze zapsat jako lineární kombinaci

$\displaystyle \vec{u}=\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \vec{v}_i\,.
$

Přímky mají pak tvar $ X=s\vec{u}+ B$, $ s\in$   {\bb R}, neboli
$\displaystyle x_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s~\alpha_1 \sqrt{a^2-1} + a$  
$\displaystyle x_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s~\alpha_2$  
  $\displaystyle \vdots$    
$\displaystyle x_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s~\alpha_{n-1}$  
$\displaystyle x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s~\alpha_1 a + \sqrt{a^2-1}\,.$  

Hledejme opět, které z těchto přímek mají s hyperboloidem jediný společný bod. Dosaďme tyto rovnice do rovnice hyperboloidu a zkoumejme, pro jaká $ \alpha_1$, $ \ldots$, $ \alpha_{n-1}$ existuje jediné řešení $ s=0$:

\begin{multline*}
s^2 \alpha_1^2 (a^2-1) + 2sa\alpha_1 \sqrt{a^2-1} + a^2 + s^2...
...^2 - s^2a \alpha_1^2 - 2sa\alpha_1 \sqrt{a^2-1}
- a^2 +1 -1 =0
\end{multline*}

$\displaystyle s^2 (-\alpha_1^2 + \sum_{i=2}^{n-1} \alpha_i^2) = 0\,. $

Závěr je tedy následující:
$ -\alpha_1^2 + \sum_{i=2}^{n-1} \alpha_i^2 \neq 0$
přímka má s hyperbolou společný právě jeden bod, a je tedy jeho tečnou;
$ -\alpha_1^2 + \sum_{i=2}^{n-1} \alpha_i^2 = 0$
přímka leží celá v hyperboloidu.
Z podmínky $ -\alpha_1^2 + \sum_{i=2}^{n-1} \alpha_i^2 = 0$ zároveň vidíme, že průnikem jednodílného hyperboloidu s tečným podprostorem $ T_B$ je kvadrika $ Q(\vec{x})=0$ signatury $ (n-2)_+$, $ (1)_-$, $ (0)_0$, tedy kužel v $ T_B$ (srovnejte s rovnicí kuželu v příkladu 17.1, resp. se signaturou příslušné kvadriky).


2. Začněme opět určením normálového vektoru k tečnému prostoru $ T_B$:

$\displaystyle \vec{n} = \frac{1}{2} \nabla f(B)= (a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n)\,,
\qquad a_n=-\sqrt{\sum_{i=1}^{n-1}a_i^2-1}\,.$

Bázové vektory $ T_B$ opět hledáme z podmínky $ \vec{v}_i\cdot \vec{n}$. Označíme je $ \vec{v}_2,\ldots,\vec{v}_n$ a z jedné vody načisto píšeme
$\displaystyle \vec{v}_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (-a_2,a_1,0,0,0,0,\ldots,0)$  
$\displaystyle \vec{v}_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (-a_3,0,a_1,0,0,0,\ldots,0)$  
    $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle \vec{v}_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (-a_n,0,0,0,0,\ldots,0,a_1)\,.$  

Obecná tečná přímka v bodě $ B$ je tedy popsána rovnicemi ( $ s\in${\bb R})
$\displaystyle x_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1-s \sum_{i=2}^n \alpha_i a_i$  
$\displaystyle x_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_2+s \alpha_2 a_1$  
    $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle x_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}+s \alpha_{n-1} a_1$  
$\displaystyle x_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -a_n+s \alpha_n a_1$  

a budeme dále mezi těmito přímkami hledat ty, které mají s hyperboloidem více společných bodů. Dosadíme právě napsané rovnice do rovnice hyperboloidu a výrazy setřídíme podle mocnin parametru $ s$.

\begin{multline*}
s^2 \left[ {\left(\sum_{i=2}^n \alpha_i a_i \right)}^2 +
\su...
...1 \alpha_n a_n \right)
+\sum_{i=1}^{n-1} a_i^2 - a_n^2 - 1 = 0
\end{multline*}

Lineární členy se odečtou, absolutní členy se užitím $ \sum_{i=1}^{n-1}a_i^2=a_n^2+1$ odečtou taktéž a zbývají pouze kvadratické

$\displaystyle s^2 \left( {\left(\sum_{i=2}^n \alpha_i a_i \right)}^2 +
\sum_{i=2}^{n-1} \alpha_i^2 a_1^2 - \alpha_n^2 a_1^2 \right) = 0\,.$

Vidíme opět, že přímky z $ T_B$, které procházejí bodem $ B$, mají z hyperboloidem buď jediný společný bod anebo leží v tomto hyperboloidu celé: podle toho, zda je pro daná $ \alpha_2,\ldots,\alpha_n$ velká závorka nulová či nenulová. Výraz v této závorce je kvadratická forma na {\bb R}$ ^{n-1}$ v proměnných $ \alpha_2,\ldots,\alpha_n$ s maticí $ C$ typu $ (n-1)\times (n-1)$

$\displaystyle C=\left(\begin{array}{ccccc} a_2^2+a_1^2 & a_2 a_3 & a_2 a_4 & \l...
...ts& \vdots \\ a_n a_2 & a_n a_3 & & \ldots& a_n^2 - a_1^2 \\ \end{array}\right)$ (176)

Potřebujeme tedy zjistit, zda je tato forma definitní či indefinitní, tedy zda $ \vec{\alpha}^TC\vec\alpha$ může být někdy nula.

Diagonalizujme formu definovanou maticí $ C$. K $ i$-tému řádku (řádky indexujeme $ i=2,3,\ldots,n$) přičteme $ -a_i
a_2/(a_2^2+a_1^2)$-násobek druhého řádku. Výsledek těchto $ n-2$ operací lze shrnout takto:

Když teď všechny řádky kromě prvního ($ i=2$) vynásobíme koeficientem $ \frac{a_2^2+a_1^2}{a_1^2}$, dostaneme matici, která se od (176) liší vynulovaným prvním sloupcem a dále tím, že na diagonále stojí všude (kromě prvního řádku) $ a_1^2+a_2^2$ místo $ a_1^2$. Zcela analogicky k vynulování prvního sloupce lze tedy vynulovat i sloupce další; pro větší přehlednost můžeme při nulování $ k$-tého sloupce ( $ k=3,\ldots,n-1$) označit $ b^2=\sum_{i=1}^{k-1}a_i^2$ a pak platí všechny výšeuvedené úpravy týkající se sloupce $ k=2$ i pro sloupce ostatní, pokud v nich zaměníme $ a_1^2$ za $ b^2$.

Na konci řádkových úprav dostaneme tedy matici

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccccccccc} \sum_{i=1}^2 a_i^2 & a_2a_3 & ...
...vdots\cr
0 & 0 & 0 & \ldots &
a_n^2-\sum_{i=1}^{n-1}a_i^2\end{array}\right)\,,
$

kde $ a_n^2 - \sum_{i=1}^{n-1} a_i^2 = -1$ a všechny ostatní diagonální elementy jsou kladné. Rozmyslete si, že pokud se dále pustíme do sloupcových úprav, které odpovídají všem provedeným řádkovým úpravám, vynulují se všechny zbývající nediagonální prvky a diagonála zůstane nezměněna.

Můžeme tedy učinit závěr, že kvadratická forma reprezentovaná maticí (176) má signaturu $ (n-2)_1, (1)_{-1}, (0)_0$, a tedy budou existovat vektory $ \vec{\alpha}=(\alpha_{2},\ldots,\alpha_n)^T$, pro které $ \vec \alpha^T C\vec \alpha=0$. Přímky

$\displaystyle X=s \vec{v} +B\,,\ s\in${\bb R}$\displaystyle \,,\quad \vec{v}=\sum_{i=2}^n\alpha_i\vec{v}_i\,,$   kde $\displaystyle \vec \alpha^T C\vec \alpha=0
$

potom leží celé v hyperboloidu, zatímco přímky s  $ \vec \alpha^T C\vec
\alpha\ne 0$ jsou jeho tečny.

Zjistili jsme tedy, že i v tomto obecnějším případě je průnikem jednodílného hyperboloidu s tečným prostorem $ T_B$ kvadrika $ Q(\vec{x})=0$ signatury ,,samé plusy, jeden minus'', tedy $ (n-1)$-dimenzionální kužel.

$ \ast$DKo,MZ$ \ast$