Polární rozklad deformačního gradientu

Úkol: Deformační funkce80 jednoduchého smyku {\mb \char31 }$ \left( \vec{x}
\right)$, $ \vec{x}=(x_1,\allowbreak x_2,x_3)^T$ je dána vztahem

   {\mb \char31 }\begin{displaymath}(\vec{x})=
\left(
\begin{array}{c}
x_1 + kx_2 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)
\end{displaymath}


Řešení: Složky tenzoru deformačního gradientu81 jsou definovány jako $ F^i_{j}=\mathrm{Grad}^i_{j} \ $   {\mb \char31 }$ \left(\vec{x} \right)
= \partial \chi^{i}/\partial x^j$, tudíž

\begin{displaymath}
F=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & k & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Nyní se budeme věnovat hlavní části příkladu -- hledání polárního rozkladu matice $ F$. Z vlastnosti matic $ R$ a $ S$ plyne, že

$\displaystyle F^{T}F={\left( RS\right)}^{T} \left(RS \right)=
S^{T}R^{T}RS=S^{T}S=S^{2},
$

odkud $ S=\sqrt{F^{T}F}$; odmocnina $ F^TF$ není jednoznačná, ale vždy mezi nimi existuje jedna pozitivně definitní matice (při odmocňování vlastních čísel je třeba volit kladné odmocniny, viz příklad 9.7).

Matici $ R$ dopočteme tak, aby to vyšlo, tzn. $ R=FS^{-1}$. Ověřme, že pokud $ F^TF=S^2$, pak je takto definovaná matice skutečně ortogonální.

$\displaystyle R^{T}R=\left( FS^{-1} \right)^T \left( FS\right)=
S^{-1}F^{T}FS^{-1}=S^{-1}S^{2}S^{-1}=\mathbbm{1}
$

Je-li navíc determinant matice $ F$ kladný, pak je i determinant matice $ R$ kladný a zobrazení zadané maticí $ R$ je vlastní rotace (tedy nikoliv rotace spojená se zrcadlením). Ještě si uvědomíme, co znamená v tomto případě polární rozklad fyzikálně. Libovolnou deformaci $ F$, lze rozložit na rotaci $ R$ a čistou deformaci $ S$. Veškerá objemová změna, jejíž mírou je jak známo determinant transformace, je tak soustředěna v matici čisté deformace $ S$. Skutečně $ \mathop{\rm det}\nolimits F =\mathop{\rm det}\nolimits R \mathop{\rm det}\nolimits S = \mathop{\rm det}\nolimits S$.

Začneme počítat. Nejdříve se pokusíme úlohu vyřešit ,,fyzikálním'' postupem, který bude odlišný od výše popsaného ,,matematického''. Ze zápisu deformační funkce {\mb \char31 } je zřejmé, že se ve směru osy $ x_3$ nic neděje a veškerá deformace probíhá v rovině $ x_1x_2$. Je proto rozumné vyzkoušet, jestli bychom za matici $ R$ nemohli vzít

$\displaystyle R= \left( \begin{array}{ccc} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right),$ (177)

což je matice popisující otočení kolem osy $ x_3$ v záporném směru (po směru hodinových ručiček), viz příklad 10.1. Úhel $ \varphi $, který je zatím libovolný, určíme tak, abychom splnili podmínky polárního rozkladu, tedy aby $ S=R^{-1}F$ byla symetrická.

\begin{displaymath}
S=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & -\sin \varphi & ...
...n \varphi + \cos \varphi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Má-li být tato matice symetrická, je třeba volit $ \varphi $ tak, aby

$\displaystyle k \cos \varphi - \sin \varphi = \sin \varphi\,,
$

odkud $ k=2 \tan \varphi$. Takové $ \varphi $ lze jistě nalézt, navíc $ \varphi \in
\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$. Pak je

\begin{displaymath}
S=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & \sin \varphi & 0...
...^2 \varphi}{\cos \varphi} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

Matice $ S$ má být ještě pozitivně definitní. Zde nezbývá než doufat, že skutečně bude, protože s parametrem $ \varphi $ již nemůžeme hýbat. Pokud by $ S$ nebyla pozitivně definitní, museli bychom místo (177) zkusit použít nějakou nevlastní rotaci, například $ R\cdot\mathop{\rm diag}\nolimits (-1,1,1)$. Determinanty hlavních minorů jsou

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits \left( \cos \varphi \right) = \cos \varphi
$

\begin{displaymath}
\mathop{\rm det}\nolimits
\left(
\begin{array}{cc}
\cos \va...
... \frac{1+ {\sin}^2 \varphi}{\cos \varphi}
\end{array}\right)=1
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
\mathop{\rm det}\nolimits
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \v...
...\varphi}{\cos \varphi} 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)=1\,.
\end{displaymath}

Všechny determinanty jsou kladné, a proto (Jacobi-Sylvestrova věta) je $ S$ skutečně pozitivně definitní.

Předveďme si ještě silové řešení problému, které bude podrobně sledovat postup navržený v úvodu. Matice $ F^{T}F$ je

\begin{displaymath}
F^{T}F=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & k & 0 \\
k & k^2+1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

Tuto matici je třeba odmocnit. Zde použijeme techniku z příkladu 9.7, jejíž výhoda spočívá v tom, že jako vedlejší produkt vypočteme i vlastní vektory matice, kterou máme odmocnit. Nejprve najdeme vlasní čísla.

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits \left( F^{T}F - \lambda \mathbbm{1}\right)=
\left( 1- \lambda \right)
\left( \lambda^2 - (2+k^2) \lambda + 1 \right),
$

odkud (označme si $ k=2 \tan \varphi$)
$\displaystyle \lambda_{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1+ \frac{k^2}{2} + k~\sqrt{1+ \frac{k^2}{4}}=1+ 2 \tan^2 \varphi + 2\tan \varphi \frac{1}{\cos \varphi}=$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1+ 2 \tan \varphi \left(\frac{1+\sin \varphi }{\cos \varphi} \right)$  
$\displaystyle \lambda_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1+ \frac{k^2}{2} - k~\sqrt{1+ \frac{k^2}{4}}=1+ 2 \tan^2 \varphi - 2\tan \varphi \frac{1}{\cos \varphi}=$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1+ 2 \tan \varphi \left(\frac{-1+\sin \varphi }{\cos \varphi} \right)$  
$\displaystyle \lambda_{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\,.$  

Vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu $ \lambda_{3}=1$ je evidentně $ \vec{v}_{\lambda_3}= (0,0,1)^T$, další vlastní vektory získáme jako řešení soustavy rovnic

\begin{multline*}
0=\left(F^{T}F - \lambda_{1,2}\mathbbm{1}\right) \vec{v}_{\lam...
... & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \vec{v}_{\lambda_{1,2}}\,.
\end{multline*}

Je vhodné použít identitu

$\displaystyle \left( \frac{ \pm 1 -\sin \varphi }{\cos \varphi}\right) \left( \...
... \varphi }{\cos \varphi}\right)= \frac{1- \sin^2 \varphi}{\cos ^2 \varphi}=1\,,$ (178)

tento vztah se nám ještě bude hodit, až budeme hledat odmocninu z vlastních čísel. Teď určíme vlastní vektory

\begin{displaymath}
\vec{v}_{\lambda_1}=
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{1+\...
...frac{-1+\sin \varphi}{ \cos \varphi} \\
0
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Jordanův tvar matice je

\begin{displaymath}
J_{F^TF}=
\left(
\begin{array}{ccc}
1+ 2 \tan \varphi \left(...
...hi}{\cos \varphi} \right) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

a transformační matice, která převádí $ F^TF$ na Jordanův tvar je

\begin{displaymath}
C=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
\frac{1+\sin \var...
...{ \cos \varphi }{2} & 0 \\ [1mm]
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Pokud jsme nalezli Jordanův tvar $ F^TF$, provedeme odmocnění snadno

\begin{displaymath}
\sqrt{F^TF}=C\sqrt{J_{F^TF}}C^{-1}=
C
\left(
\begin{array}{c...
... & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{\lambda_3}
\end{array}\right)
C^{-1}\,,
\end{displaymath}

největším problémem bude inteligentním způsobem odmocnit vlastní čísla (tím samozřejmě nemyslíme odmocninu z jedničky). Vzpomeneme si na výše uvedený vztah pro rozepsání jedničky (178) a dostaneme

\begin{multline*}
\lambda_{1,2}=
1+ 2 \tan \varphi \left( \frac{\pm 1+\sin \varp...
...t)=
\left( \frac{\pm 1+ \sin \varphi }{\cos \varphi} \right)^2 ,
\end{multline*}

odkud (při odmocňování volíme vždy znaménko plus, chceme získat pozitivně definitní matici)

$\displaystyle \sqrt{\lambda_1} = \frac{1+ \sin \varphi}{ \cos \varphi}\,,\qquad
\sqrt{\lambda_2} = \frac{1- \sin \varphi}{ \cos \varphi}\,.
$

Konečně máme tedy $ \sqrt{F^TF}$ ve tvaru

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
\frac{1+\sin \varphi...
...\frac{ \cos \varphi }{2} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{displaymath}

což dává

\begin{displaymath}
\sqrt{F^TF}=S=
\left(
\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & \sin...
...^2 \varphi}{\cos \varphi} &0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right).
\end{displaymath}

Podle receptu pak je $ R=FS^{-1}$, aneb

\begin{displaymath}
R=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 2 \tan \varphi & 0 \\
0 & ...
...n \varphi & \cos \varphi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{displaymath}

matice $ R$ a $ S$ nám kupodivu vyšly stejně jako při ,,fyzikálním'' postupu. Zde aspoň nemusíme ověřovat jejich vlastnosti (jsou dány postupem). Navíc jsme ještě našli vlastní vektory a vlastní čísla matice $ S$, čili směry, ve kterých dochází k maximálnímu resp. minimálnímu prodloužení (zkrácení).

$ \ast$VP$ \ast$