Polární rozklad singulární matice

Úkol: Ukažte, že i v případě, kdy matice $ {A}$ není regulární, existují unitární matice $ {U}$ a hermitovská pozitivně semidefinitní matice $ {B} $ takové, že

$\displaystyle {A}={U}{B}$ (179)

.


Řešení: Protože matice $ {A}^\dagger {A}$ je zajisté hermitovská a pozitivně semidefinitní, můžeme stejně jako v případě regulární $ {A}$ nalézt její odmocninu $ {B} $. Unitární matici $ {U}$ i nyní dodefinujeme tak, aby platilo $ {A}={U}{B}$, jen s tím rozdílem, že už nemůžeme prostě položit $ {U}={A}{B}^{-1}$.

Pomůžeme si jinak. Zadáme-li nějakou bázi v  {\bb C}$ ^n$, pak všechny zde uvedené matice definují jisté operátory na {\bb C}$ ^n$. Zvolme si tedy bázi vlastních vektorů $ \vec{b}_k$ operátoru $ \widehat{A}^\dagger \widehat{A}$ a definujme operátor $ \widehat{U}$ tak, že řekneme, jak působí na jednotlivé vektory báze. Je-li vlastní číslo $ \lambda_k$ nenulové, definujeme prostě $ \widehat{U}\vec{b}_k={1\over\sqrt{\lambda_k}}\widehat{A}\vec{b}_k$, tedy právě tak, aby bylo (179) splněno. Potom ovšem pro každé dva vektory $ \vec{b}_k$, $ \vec{b}_l$ příslušné nenulovým vlastním číslům $ \widehat{A}^\dagger \widehat{A}$ platí

$\displaystyle \widehat{U}\vec{b}_k\cdot\widehat{U}\vec{b}_l={1\over\sqrt{\lambd...
...c{\lambda_l}{\sqrt{\lambda_l\lambda_k}}
\vec{b}_k\cdot \vec{b}_l=\delta_{kl}\,,$

což je potřeba, aby $ \widehat{U}$ byl unitární.

Na vlastních vektorech odpovídajících vlastnímu číslu nula bude (179) splněno automaticky, a proto tam $ \widehat{U}$ už dodefinujeme jakkoli, ale tak, aby byl unitární. To provedeme tak, že vektory $ \widehat{U}\vec{b}_k$ pro $ \lambda_k>0$ doplníme na ortonormální bázi {\bb C}$ ^n$, a tyto doplněné vektory vezmeme (v libovolném pořadí) za obrazy těch $ \vec{b}_k$, které přísluší vlastnímu číslu nula. Tak budeme mít zaručeno, že $ \widehat{U}$ zachovává skalární součin, a tedy je unitární.

Podobně lze dokázat, že existují i zbylé dva polární rozklady uvedené ve skriptech [PLA] na str. 289.

$ \ast$TB$ \ast$