Násobení blokových matic; výpočet inverze blokové matice

Mějme blokovou matici tvaru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2321 X = \begin{array}{\vert c\vert c\vert...
...hline A& B & C \\ \hline 0 & D & E \\ \hline 0 & 0 & F \\ \hline \end{array}\;,$ (182)

kde $ A,D,F$ jsou čtvercové matice (ne nutně stejného rozměru) a $ B,C,E$ obdélníkové matice příslušného rozměru. Symboly 0 označujme matice (různých rozměrů) obsahující pouze samé nuly. Chceme zde upozornit, že inverzní matici $ X^{-1}$ počítáme v zásadě stejným postupem, jako kdyby $ A,B,\dots,F$ byla pouhá čísla! Metodu lze zobecnit i na větší počet bloků.

Věta. Platí vztah

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2323 X^{-1} = \begin{array}{\vert c\vert c...
...hline a& b & c \\ \hline 0 & d & e \\ \hline 0 & 0 & f \\ \hline \end{array}\;,$ (183)

kde $ a=A^{-1}$, $ d=D^{-1}$, $ f=F^{-1}$, $ b=-A^{-1} B d$, $ e=-D^{-1} E f$ a konečně $ c$ dostaneme řešením rovnice

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2325 Ac+Be+Cf = 0.\\ $ (184)

Důkaz. Stačí si uvědomit, jak vypadá součin dvou blokových matic, tzn. že výsledek vypadá stejně, jako kdyby $ A,B,\dots,a,b,\dots$ byla čísla a ne matice (vhodného rozměru).

Ověřte podrobně, jak vypadá součin dvou blokových matic (s bloky odpovídajících rozměrů)!