Gaussovské integrály v  $ {\mathbb{R}}^n$ -- základní výpočty

Jde o nejzákladnější a nejjednodušší úlohu vícerozměrné integrace. Mějme funkci $ f$ na $ {\mathbb{R}}^n$, pro jednoduchost všude nenulovou, tedy tvaru $ f(x) = e^{-g(x)}$. Jednodušší funkci než kvadraticko-lineární nevymyslíme. (Pouze lineární funkce $ g(x)$ by nedávala integrabilitu na celém $ {\mathbb{R}}^n$!)

Nechť tedy je $ g$ kvadratická forma

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2328 g(x) = \sum a_{ij} x^i x^j = (Ax,x),$ (185)

kde symbol $ (\cdot,\cdot)$ označuje obvyklý skalární součin na $ {\mathbb{R}}^n$$ A$ je pozitivně definitní reálná matice (aby $ f(x)$ byla integrovatelná). Případ komplexních matic $ A$ je též velmi důležitý, zatím jej ale odložíme na později. Naším prvním cílem bude tedy spočítat

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2330 \int_{{\mathbb{R}}^n} e^{-(Ax,x)}\,{\mathrm d}x.$ (186)

Začneme případem $ n=1$. Připomeňme nejprve známý výpočet pomocí věty o substituci, použitím polárních souřadnic a Fubiniho věty.

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2332 \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\...
... \int_0^{2\pi}\!\!\!\int_0^\infty e^{-r^2}r\,{\mathrm d}r\,{\mathrm d}\varphi =$ (187)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2334 = 2\pi\cdot\frac{1}{2},\qquad{\textrm{tedy}}\qquad \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,{\mathrm d}x = \sqrt{\pi}.$ (188)

Obecněji, pomocí věty o substituci máme

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2336 \int e^{-ax^2}\,{\mathrm d}x = \frac{1}{\sqrt{a}}\int e^{-y^2}\,{\mathrm d}y = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$ (189)

Zkusme si počínat analogicky i ve vícerozměrném případě! Nejprve ovšem připomeňme, co to je odmocnina (pozitivně definitní) symetrické matice $ A$.

Napišme spektrální rozklad $ A$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2338 A~\equiv Q^{-1}DQ, \qquad Q^{-1} = Q^{T},$ (190)

kde $ Q$ je nějaká ortogonální matice a $ D$ je diagonální (s kladnými prvky na diagonále, pokud $ A$ je pozitivně definitní). Položme

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2340 B = Q^{-1}\sqrt{D}Q = Q^{T}\sqrt{D}Q$ (191)

(je jasné, co to je odmocnina z diagonální matice, a druhý tvar ukazuje, že $ B$ je též symetrická matice), pak je skutečně

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2342 B^2 = Q^{-1}\sqrt{D}QQ^{-1}\sqrt{D}Q = A.$ (192)

A pokračujeme nyní přesně jako v jednorozměrném případě, použitím věty o substituci a vztahu $ \mathop{\rm det}\nolimits A=(\mathop{\rm det}\nolimits B)^2$, odůvodněte podrobněji všechny kroky

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2344 \int_{{\mathbb{R}}^n} e^{-(Ax,x)}\,{\...
...c{1}{\mathop{\rm det}\nolimits B}\int_{{\mathbb{R}}^n} e^{-(y,y)}\,{\mathrm d}y$ (193)

(neboť Jacobián substituce $ Bx=y$ je $ \mathop{\rm det}\nolimits B$), dále

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2346 \frac{1}{\mathop{\rm det}\nolimits B}...
...m d}y_1\dots{\mathrm d}y_n = \sqrt{\frac{\pi^n}{\mathop{\rm det}\nolimits {A}}}$ (194)

podle jednorozměrného výsledku nahoře a Fubiniovy věty.

Jednodušší funkci než $ f(x) = e^{-g(x)}$ (s kvadratickou, popř. lineárně kvadratickou fukcí $ g$) skutečně nevymyslíme. Jsou ale i nějaké další funkce, které bychom takto uměli integrovat? Co takhle třeba tzv. korelační koeficienty gaussovské míry, dané hustotou vůči Lebesgueově míře na $ {\mathbb{R}}^n$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2348 {\mathrm d}\mu(x) = e^{-(Ax,x)}\sqrt{\frac{\mathop{\rm det}\nolimits A}{\pi^n}}\,{\mathrm d}x,$ (195)

tedy výrazy typu

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2350 \int_{{\mathbb{R}}^n} x_ix_j\,{\mathrm d}\mu(x)?$ (196)

Zde vede rychle k cíli následující ,,trik'': Uvažme, že pro každé pevné $ i_0\neq j_0$ lze součin $ x_{i_0}x_{j_0}$ chápat jako

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2352 \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial a_{i_0j_0}}(Ax,x),$ (197)

kde výraz $ (Ax,x)$ je chápán jako funkce ,,parametrů'' $ a_{ij}$ matice $ A$. (Koeficient $ \frac{1}{2}$ je tu proto, že pracujeme se symetrickou maticí). Tedy

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2355 \int_{{\mathbb{R}}^n} x_{i_0} x_{j_0}...
...op{\rm det}\nolimits A}{\pi^n}}\int x_{i_0} x_{j_0} e^{-(Ax,x)}\,{\mathrm d}x =$    

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2357 = \sqrt{\frac{\mathop{\rm det}\nolimi...
...R}}^n} \frac{\partial}{\partial a_{i_0j_0}} (Ax,x) e^{-(Ax,x)} \;{\mathrm d}x =$    

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2359 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\mathop{\rm...
...-\frac{\partial}{\partial a_{i_0j_0}} \left(e^{-(Ax,x)}\right) \;{\mathrm d}x =$    

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2361 = -\frac{\sqrt{\mathop{\rm det}\nolim...
...et}\nolimits A}\frac{\partial}{\partial a_{i_0j_0}}\mathop{\rm det}\nolimits A.$ (198)

V případě obecné nesymetrické matice a fixované uspořádané dvojice $ i_0,\ j_0$ je hned vidět, čemu je roven výraz $ \frac{\partial}{\partial a_{i_0j_0}}\mathop{\rm det}\nolimits A$, resp. $ \frac{1}{\mathop{\rm det}\nolimits
A}\frac{\partial}{\partial a_{i_0j_0}}\mathop{\rm det}\nolimits A.$ Je to $ (j_0,i_0)$-tý minor matice $ A$, resp. $ (j_0,i_0)$-tý prvek matice $ C=A^{-1}$! Obdobný výsledek dostáváme ale i pro náš případ -- symetrickou matici $ A$neuspořádanou dvojici $ \{i_0,j_0\}$ indexů. Je jenom třeba pozorně prohlédnout koeficienty výrazů tvaru, omezme se zatím na případ $ i_0\neq j_0$,

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial a_{i_0 j_0}}\left[ a_{i_0 j_0} \sum_{\pi...
...0\atop\hphantom{\pi:} \pi(j_0)\neq i_0} \prod_{i\neq i_0} a_{i\pi(i)}\,,\right]$ (199)

resp.

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial a_{i_0 j_0}}\left[ {(a_{i_0 j_0})}^2 \su...
...phantom{\pi:} \pi(j_0) = i_0}\prod_{i\notin \{i_0,j_0\}} a_{i \pi(i)}\,,\right]$ (200)

a uvědomit si definici determinantu. Vzhledem k symetrii matice $ A$ se pro dané $ i,j$ rozpadají sčítance v definici determinantu na tři typy: ty, které neobsahují ani $ a_{ij}$ ani $ a_{ji}$, ty, jež ho obsahují lineárně (tedy obsahují $ a_{ij}$ a neobsahují $ a_{ji}$ či naopak) a ty, které je obsahují kvadraticky (tedy jak $ a_{ij}$, tak $ a_{ji}$). Prvně jmenované při derivaci vypadnou, (212) je lineární a (212) kvadratický člen.

Vyjde v případě $ i_0\neq j_0$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2366 \frac{\partial}{\partial a_{i_0j_0}} \mathop{\rm det}\nolimits A~= 2\mathop{\rm det}\nolimits A~c_{i_0j_0}.$ (201)

Spočetli jsme tedy celkově -- platí jak pro $ i_0\neq j_0$, tak pro $ i_0 = j_0$ (případ $ i_0 = j_0$ proberte sami jako cvičení a modifikujte příslušné mezivýsledky)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2368 \int_{{\mathbb{R}}^n} x_{i_0} x_{j_0} \,{\mathrm d}\mu(x) = \frac{1}{2} c_{i_0 j_0},$ (202)

kde $ C=A^{-1}$. Už vidíme, proč $ C$ se nazývá korelační maticí míry $ \mu$.