Integrály polynomů a exponenciály (vytvořující funkce) vůči gaussovské míře

Jde o integrály typu (výraz $ \sum \xi_i x_i$ píšeme níže též ve tvaru $ (x,\xi)$)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2371 \int_{{\mathbb{R}}^n} e^{\sum \xi_i x...
...right)^{-1} \int_{{\mathbb{R}}^n} e^{\sum \xi_i x_i} e^{-(Ax,x)}\;{\mathrm d}x,$ (203)

resp.

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2373 \int \prod_i x_i^{m_i}\;{\mathrm d}\m...
...det}\nolimits A}}\right)^{-1} \int \prod_i x_i^{m_i} e^{-(Ax,x)}\;{\mathrm d}x.$ (204)

Mnohé integrály druhého typu počítat metodou per partes (určitě je to možné pro jednorozměrnou míru $ \mu$, jinak to asi bude složitější...), my ale použijeme jiný postup. Nejdřív se ovšem podíváme na první z těchto integrálů. Nejprve provedeme potřebné pomocné úpravy pro lineárně kvadratický výraz v exponentu (,,doplněním na čtverec'', opět označíme $ B=\sqrt {A}$ a využijeme symetrie $ B$)

$\displaystyle (Ax,x)-(\xi,x) =
(Bx,Bx)-(B^{-1}\xi,Bx) =
$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2375 = (Bx-\frac{1}{2}B^{-1}\xi,Bx-\frac{1}{2}B^{-1}\xi)-\frac{1}{4}(B^{-1}\xi,B^{-1}\xi).$ (205)

Tedy máme, s použitím substituce $ Bx-\frac{1}{2}B^{-1}\xi=y$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2377 \int_{{\mathbb{R}}^n} e^{(\xi,x)-(Ax,...
...\nolimits B}\int e^{\frac{1}{4}(B^{-1}\xi,B^{-1}\xi)} e^{-(y,y)}\;{\mathrm d}y,$ (206)

čili celkově

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2379 F(\xi) = \int e^{(\xi,x)}\;{\mathrm d}\mu(x) = e^{\frac{1}{4}(A^{-1}\xi,\xi)} = e^{\frac{1}{4}(C\xi,\xi)}.$ (207)

Všimněme si, že výraz v exponentu je pozitivní. Chceme-li spočítat Fourierovu transformaci míry $ \mu$ s ryze imaginárním exponentem

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2381 \hat{\mu}(\xi) = \int e^{i(\xi,x)}\;{\mathrm d}\mu(x),$ (208)

nabízí se napsat přímo výsledek, kde $ \eta = i\xi$ ($ i$ je imaginární jednotka, nikoliv index!)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2383 \hat{\mu}(\xi) = e^{\frac{1}{4}(C\eta,\eta)} = e^{-\frac{1}{4}(C\xi,\xi)}.$ (209)

Pozor, výraz $ (x,y)$ zde stále znamená $ \sum_k x_k y_k$, i když pracujeme s imaginárními veličinami!

Proč to tak můžeme napsat? Funkce

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2385 F_1(\xi) = \int e^{(\xi,x)}\;{\mathrm d}\mu(x),$ (210)

a

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2387 F_2(\xi) = e^{\frac{1}{4}(C\xi,\xi)} = e^{\frac{1}{4}\sum c_{ij}\xi_i \xi_j},$ (211)

jsou totožné pro reálné hodnoty $ \xi_k$, jak jsme právě ukázali. Tyto funkce jsou však zřejmě holomorfní funkce82 proměnných $ \xi_k$.

Tedy, podle ,,známé věty'' o jednoznačnosti holomorfní funkce (zformulujte tuto větu a přeneste ji indukcí na případ funkce více proměnných) musí být funkce $ F_1$$ F_2$ totožné pro všechny, i komplexní, hodnoty proměnných $ \xi^k\in{\mathbb{C}}$! Takže musí platit vztah

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2389 \int e^{i(\xi,x)}\;{\mathrm d}\mu(x) = e^{-\frac{1}{4}(C\xi,\xi)}.$ (212)

A nyní přistupme k výpočtu, pro jakoukoliv $ n$-tici indexů $ \{m_i,i=1,\dots,n\}$, integrálu ($ i$ je tady všude index -- používáme zase jen reálné veličiny $ \xi_i$)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2391 \int \prod_{i=1}^n x_i^{m_i}\;{\mathrm d}\mu(x).$ (213)

Podívejme se na rozvoj funkce $ e^{(\xi,x)}$:

$\displaystyle e^{(\xi,x)} = e^{\sum \xi_i x_i} = \sum_{N=0}^{\infty} \frac{1}{N!} {\left(\sum \xi_i x_i\right)}^N.$ (214)

Členy na pravé staně rozepíšeme podle multinomické formule

$\displaystyle \frac{1}{N!}{(\xi_1 x_1+\dots+\xi_n x_n)}^N = \sum_{\{n_i\}\atop \Sigma_i n_i=N} \prod_i \frac{(\xi_i x_i)^{n_i}}{n_i!}.$ (215)

Označme $ M = m_1+\dots+m_n$, v předchozím vztahu nás tedy zajímá hlavně $ (m_1,\dots,m_n)$-tý prvek rozvoje členu $ (\sum \xi_i x_i)^M$. Je tedy, podle % latex2html id marker 87159
$ (\ref{integraly_rozvoj_funkce})$ % latex2html id marker 87161
$ (\ref{integraly_multinomicka_formule})$,

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2393 e^{(\xi,x)} = \prod_i \left( \sum_{n_i=0}^{\infty}\frac{(\xi_i x_i)^{n_i}}{n_i!}\right),$ (216)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2395 \int e^{(\xi,x)}\;{\mathrm d}\mu(x) =...
...i\}} \prod_i \frac{\xi_i^{n_i}}{n_i!} \int\prod_i x_i^{n_i}\;{\mathrm d}\mu(x).$ (217)

Budeme se tedy na integrál $ \int\prod_i x_i^{m_i}\;{\mathrm d}\mu(x)$ dívat jako na koeficient u členu $ \prod_i
\frac{\xi_i^{m_i}}{m_i!}$ rozvoje (v proměnných $ \xi_i$) funkce

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2397 F(\xi) = \int e^{(\xi,x)}\;{\mathrm d}\mu(x).$ (218)

Poznamenejme, že nás zajímají sudé hodnoty stupně $ M=\sum_{i=1}^n m_i$; pro liché $ M$ je výše uvedený integrál očividně roven nule (Ověřte to!).

Shrňme dosavadní pozorování. Píšeme

$\displaystyle F(\xi) = \int e^{(\xi,x)}\;{\mathrm d}\mu(x) = \prod_i \frac{\xi_i^{m_i}}{m_i!} \int \prod_i x_i^{m_i}\;{\mathrm d}\mu(x) + \dots$ (219)

Naopak je, jak již víme,

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2399 F(\xi) = \int e^{(\xi,x)}\;{\mathrm d}\mu(x) = e^{\frac{1}{4}\sum c_{ij} \xi_i \xi_j}.$ (220)

Rozložme tuto funkci do nekonečné řady: Píšeme

   to $ \ds
e^{\frac{1}{4}(C\xi,\xi)} =
e^{\frac{1}{4}\sum c_{ij} \xi_i \xi_j} =\hfill$$\displaystyle \hss
$

$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k \frac{\left(\sum c...
...\frac{\left( \sum c_{ij} \xi_i \xi_j \right)^\frac{M}{2}}{\frac{M}{2}!} + \dots$ (221)

kde tečky obsahují další, pro nás již teď nezajímavé členy. Roznásobíme závorky na pravé straně % latex2html id marker 87191
$ (\ref{integraly_mezivysledek})$ a dostaneme vzorec

$\displaystyle \left( \sum c_{ij} \xi_i \xi_j \right)^\frac{M}{2} = \sum_G \prod...
...}\atop i\neq j} 2 c_{ij} \prod_{\{i,i\}\in G} c_{ii} \prod_{i=1}^n \xi_i^{m_i},$ (222)

kde sumujeme přes všechny uspořádané $ \frac{M}{2}$-tice množiny $ G$ dvojic indexů $ \{i,j\}$ takové, že celkový počet ,,žeber'' $ \{i,j\}$ (žebra $ \{i,i\}$ se počítají dvakrát) obsahujících daný index $ i$ je roven čislu $ m_i$. Dvojnásobek počtu všech ,,žeber'' $ G$ je tedy roven číslu $ \sum_{i=1}^n m_i = M$.

Abychom si názorněji představili, přes jakou množinu $ G$ dvojic $ \{i,j\}$ vlastně sčítáme, představme si každou dvojici $ \{i,j\}$ třeba jako nataženou gumičku mezi uzly $ i$$ j$. Rozstřihnutím té gumičky uprostřed dostaneme dva ,,prsty'', jeden upevněný v uzlu $ i$ a druhý v uzlu $ j$. Viz obrázek nakreslený níže, kde gumičky jsou již takto rozstřihány na dvě části a máme tedy nakonec systém ,,ruk'', kde $ i$-tá ruka má $ m_i$ ,,prstů''. Ty prsty jsou zatím neuspořádány, níže je ale bude účelné uspořádat.

Shrňme dosažený výsledek. Srovnáním odpovídajících členů rozvojů % latex2html id marker 87231
$ (\ref{integraly_dosavadni_pozorovani})$ % latex2html id marker 87233
$ (\ref{integraly_mezivysledek})$ máme vzorec

$\displaystyle \int \prod_{i=1}^n x_i^{m_i}\;{\mathrm d}\mu(x) = \frac{1}{2^M\le...
...c{M}{2}\right)!} \prod_{i=1}^n m_i! \sum_{G\in {\mbox{{\Cal G}}}(\{m_i\})} c_G,$ (223)

kde $ {\mbox{{\Cal G}}}(\{m_i\})$ je množina všech uspořádaných $ \frac{M}{2}$-tic $ G$ popsaných nahoře, a

$\displaystyle c_G = \prod_{{\{i,j\}}\in G \atop i\neq j} (2c_{ij})^{m_{ij}} \prod_{\{i,i\} \in G} c_{ii}^{m_{ii}},$ (224)

kde $ c_{ij}$ je příslušný maticový element (z korelační matice $ C$) a $ m_{ij}$ označuje násobnost (multiplicitu) páru $ \{i,j\}$, tzn. počet jeho použití v uspořádané množině $ G$. Některé gumičky jsou tedy vlastně svazky gumiček, a bereme v úvahu i gumičky typu ,,smyčka'', tedy páry $ \{i,i\}$. I ony mohou mít multiplicitu větší než jedna.

Vzorec % latex2html id marker 87257
$ (\ref{integraly_styridsatstyri})$ se stane přehlednějším, přepíšeme-li ho nyní pro neuspořádaná párování. Při vhodné interpretaci navíc ,,zmizí'' všechny faktoriály v  % latex2html id marker 87259
$ (\ref{integraly_styridsatstyri})$ (a navíc se sjednotí příspěvky $ 2c_{ij}$, resp $ c_{ii}$, v  % latex2html id marker 87265
$ (\ref{integraly_styridsattri})$).

Označíme symbolem $ {\mbox{{\Cal P}}}(\{m_i\})$ množinu neuspořádaných $ \frac{M}{2}$-tic párů typu $ \{i,j\}$ takových, že počet výskytů indexu $ i$ je dán čísly $ m_i$. Tato množina se rozpadá na sjednocení

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2407 {\mbox{{\Cal P}}}(\{m_i\}) = \bigcup_{\{m_{ij}\}} {\mbox{{\Cal P}}}(\{m_i\},\{m_{ij}\})$ (225)

množin neuspořádaných $ \frac{M}{2}$-tic s předepsanými multiplicitami žeber $ \{m_{ij}\}$. Kolika způsoby lze uspořádat zvolený prvek $ P \in
{\mbox{{\Cal P}}}(\{m_i\},\{m_{ij}\})$? Očividně

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2410 N_P = \frac{\left(\frac{M}{2}\right)!}{\prod_{\{i,j\}} m_{ij}!}$ (226)

různými způsoby. Takže máme vzorec, vyplývající z  % latex2html id marker 87287
$ (\ref{integraly_styridsatstyri})$,

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2413 \int \prod_i x_i^{m_i}\;{\mathrm d}\m...
...i!}{\prod_{\{i,j\}} m_{ij}!\;2^M} \sum_{P \in {\mbox{{\Cal P}}} (\{m_i\})} c_P,$ (227)

kde $ c_P$ je dáno formulí % latex2html id marker 87293
$ (\ref{integraly_styridsattri})$. Představme si nyní, že každou ,,gumičku'' ze systému $ P$ rozstřihneme uprostřed. Vznikne systém $ n$ ,,ruk'', kde $ i$-tá ruka má $ m_i$ ,,prstů''.

Obrázek: Příklad párování ručiček
\includegraphics[scale=0.85]{zahradnik/pacicky.1}

Představme si naopak, že prsty těchto roztažených ruk budeme párovat a tím vytvářet různé $ \frac{M}{2}$-tice $ P$.

Platí nyní, že každé neuspořádané párování (uspořádaných $ m_i$-tic prstů ruk) takto vytvoříme celkem

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2416 \frac{\prod_i m_i !}{\prod_{\{i,i\}\in P} 2^{m_{ii}} m_{ii}!\; \prod_{\{i,j\}\atop i\neq j} m_{ij}!}$ (228)

krát. Vyjasníme jmenovatel tohoto výrazu. Pokud $ m_{ii} = 0$ $ m_{ij} \leq 1$, je výsledek $ \prod_{i} m_i !$ jasný, každá $ n$-tice permutací prstů ruk vytváří různou realizaci téhož neuspořádaného párování $ P$. Označujme raději tyto realizace symbolem $ R$ (místo $ P$).

V případě $ m_{ij} > 1$ je třeba si dále uvědomit, že po provedení jakékoliv permutace uvnitř svazku ,,gumiček'' $ \{i,j\}$ zůstává realizace $ R$ stejná. To vysvětluje přítomnost faktoriálů $ m_{ij}!$ ve jmenovateli vzorce nahoře.

V případě multiplicit smyček $ \{i,i\}$ je příslušná kombinatorika ještě poněkud jiná. Zatímco konce všech párů $ \{i,j\}$ jsou apriori ,,odlišeny'', u párů $ \{i,i\}$ tomu tak není, a transpozice koncových bodů ,,gumiček'' ze svazku $ \{i,i\}$ dávají onen dodatečný faktor $ 2^{m_{ii}}$ -- který ovšem chybí pro $ i \neq j$.

A máme finální vzorec (všimněte si, jak ,,zmizel'' faktor $ \frac{1}{2^M}$ a též faktor $ 2$ u členů $ c_{ij}$, $ i \neq j$), je to tzv. Wickův vzorec:

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2418 \int \prod_{i} x_i^{m_{i}}\;{\mathrm d}\mu(x) = \sum_{R \in {\mbox{{\Cal R}}} (\{m_i\})} c_R,$ (229)

kde

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2420 c_R = \prod_{\{i,j\}} c_{ij}^{m_{ij}}$ (230)

a sčítá se přes všechny možné realizace $ R$ párování uspořádaných $ m_i$-tic prstů v obrázku nahoře.

Samostatný příklad bude věnován zobecněním této formule pro případ, kdy místo členu $ \prod_{i} x_i^{m_i}$ bereme různé součiny ortogonalizovaných polynomů (v prostoru $ {\mathrm
L}^{\!2}(\mu)$).