Exponenciála mocninné řady a rozvoj logaritmu

Uvedeme zde jedno tvrzení (kombinatoricko-analytického charakteru) pro mocninné řady. Má význam pro studium pojmu exponenciály a logaritmu matice. Pracujeme zde obecněji v jakékoliv algebře, kde výrazy jako $ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$, $ \sum x^n$ a všechny uvažované řady typu $ \sum a_n x^n$, či $ \sum b_nx^n$ mají smysl pro dostatečně malé $ x$ ($ \equiv$ pro každé $ x$, pokud je pronásobíme dostatečně malým koeficientem).

Čistě kombinatorický důkaz rozvoje $ \log(1+x)$ je uveden v přikladě p. Vybírala. Jistěže je neestetické přidávat analytické úvahy tam, kde bychom chtěli (a kde existuje) čistě kombinatorický důkaz. Uvidíme však, že i malé množství analýzy důkaz velmi zpřehlední. Vyhýbáme se zde ovšem čistě analytickým úvahám jako využití znalosti Taylorova rozvoje $ \log(1+x)$ pro reálná $ x$.

Věta. Nechť platí

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2423 \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \exp\left[ \sum_{m=1}^\infty b_m x^m \right]; {\qquad a_0\equiv1}.$ (231)

Potom je mezi koeficienty $ a_n$$ b_m$ vztah

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2425 a_n n = \sum_{m=1}^n b_m m a_{n-m}.$ (232)

Speciálně, volíme-li $ a_n\equiv 1$, je $ b_m\equiv \frac{1}{m}$, a tedy platí

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2427 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = \exp\left[ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n} \right],$ (233)

neboli

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2430 -\log(1-x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}.\\ $ (234)

Důkaz. Zmíněný rudiment analýzy (bez kterého obejít se by bylo skutečně nepohodlné) je tvrzení

$\displaystyle \frac{\mathrm d}{{\mathrm d} x} e^{g(x)} = g'(x) e^{g(x)}.$ (235)

Pokud chápeme $ \frac{\mathrm d}{{\mathrm d} x} \sum a_n x^n$ jako $ \sum
a_n n x^{n-1}$ a definujeme-li $ e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$, dále $ e^{g(x)}$ dosazením řady pro $ g(x)$ do exponentu $ e^x$, lze tvrzení (248) dokázat i čistě kombinatoricky. Proveďte! Potřebujeme k tomu ovšem další ,,zřejmé'' tvrzení, totiž, že

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2432 \left(\left( g(x) \right)^n\right)' = n \left(g(x)\right)^{n-1} g'(x).$ (236)

Takže nyní máme pro $ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n=e^{g(x)}$, $ g(x)=\sum_{m=1}^\infty b_m x^m$, vztah

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n n x^{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{\sum_{m=1}^\infty b_m x^m} \sum_{m=1}^\infty m b_m x^{m-1} =$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \sum_{m=1}^\infty m b_m x^{m-1}$ (237)

a pronásobením řad na pravé straně skutečně dostaneme hledaný vztah

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2434 a_n n = \sum_{k,l:\;k+l=n} a_k l b_l.\\ $ (238)