Přibližné výpočty velkých mocnin matic

Spočtěte s dostatečně velkou přesností $ A^{1000}$ pro matici

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2437 A~= \left(\begin{array}{ccc} \frac{1}...
...}{3} \\ [1mm] \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} \\ \end{array}\right).\\ $ (239)

Řešení. Jde o stochastickou matici, její největší vlastní číslo je tedy $ 1$. Další vlastní čísla jsou, jak snadno zjistíme, 0 $ \frac{1}{3}$. Tedy matice $ A$ je podobná matici $ D$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2439 A~= CBC^{-1},\qquad \hbox{\textrm{kde...
... \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \qquad C^{-1} = C^{T}$ (240)

a kde sloupce ortogonální matice $ C$ jsou tvořeny vlastními vektory příslušícími vlastním číslům $ 1$, $ \frac{1}{3}$, 0. Poznamenejme, že vlastní vektor příslušící vlastnímu číslu $ 1$ má složky $ (1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})$.

Všimněme si, že platí přibližný vztah

$\displaystyle A^{1000} = CB^{1000}C^{-1}\ \doteq\ C\overline{B}C^{-1} = C\overline{B}C^{T},$ (241)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2441 \hbox{\textrm{kde}}\quad \overline{B}...
...ft( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right),$ (242)

s přesností řádově na hodnotu $ \left(\frac{1}{3}\right)^{1000}$!

Dosazením do (254) dostaneme

\begin{multline*}%nolabel
C\overline{B}C^{T} =
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1...
... \\
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array}\right)
\end{multline*}

tedy, s přesností řádově $ \left(\frac{1}{3}\right)^{1000}$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2446 A^{1000} \doteq \left( \begin{array}{...
...} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{array} \right).$ (243)