Násobení blokových matic typu $ 2\times 2$

a)
Spočtěte $ M^n$, kde matice $ M$ rozměrů $ 2\times 2$ je tvaru \begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
0 & c \\
\end{array}\right).
\end{displaymath}

b)
Řešte analogickou úlohu pro případ, kdy \begin{displaymath}M=
\left(
\begin{array}{cc}
A & B \\
0 & C \\
\end{array}\right)\end{displaymath} je bloková matice rozměrů $ (m+n)\times(m+n)$ a bloky $ A$, $ B$, $ C$0 mají postupně rozměry $ m\times m$, $ m\times n$, $ n\times n$$ n\times m$; 0 označuje matici, jejíž všechny prvky jsou rovny nule.

Řešení. a)     Spočtením několika prvních mocnin není těžké nahlédnout, že bude platit

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2449 M^n = \left( \begin{array}{cc} a^n & ...
... + a^{n-2}c + \dots + ac^{n-2} + c^{n-1}\right) \\ 0 & c^n \end{array} \right).$ (244)

Dokažme to matematickou indukcí. Vskutku,
$\displaystyle {M^{n+1} = M^n M =}$
  $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{cc}
a^n & b\left(a^{n-1} + a^{n-2}c + \d...
...ht)
\left(
\begin{array}{cc}
a~& b \\
0 & c
\end{array}\right)\end{displaymath}  
  $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(\hskip-1pt
\begin{array}{cc}
a^{n+1} & b\left(a^{n-1} +...
...ght)c + a^nb \\
0 & c^{n+1} \\
\end{array}\right)\hskip-1pt =\end{displaymath}  
  $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{cc}
a^{n+1} & b\left(a^n + \dots + c^n\right) \\
0 & c^{n+1}
\end{array}\right)\quad\textrm{q.\,e.\,d.}\end{displaymath} (245)


b) V případě, že $ A$, $ B$, $ C$0 jsou blokové matice, ověříme snadno, že

$\displaystyle M^2$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{cc}
A^2 & AB + BC \\
0 & C^2
\end{array}\right),\end{displaymath} (246)
$\displaystyle M^3$ $\displaystyle =$ \begin{displaymath}\left(
\begin{array}{cc}
A^3 & A^2B + ABC + BC^2 \\
0 & C^3
\end{array}\right).\end{displaymath} (247)

Odůvodněte podrobněji, proč je součin dvou blokových matic

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2454 \left( \begin{array}{cc} A~& B \\ C &...
...d\textrm{a}\quad \left( \begin{array}{cc} E & F \\ G & H \\ \end{array} \right)$ (248)

odpovídajících rozměrů roven matici

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2456 \left( \begin{array}{cc} AE + BG & AF + BH \\ CE + DG & CF + DH \end{array} \right)!$ (249)

Podrobně jako v případe $ a)$ nyní dokážeme matematickou indukcí, že

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2458 M^n = \left( \begin{array}{cc} A^n & ...
...}B + A^{n-2}BC + \dots + ABC^{n-1} + BC^n \\ 0 & C^n \\ \end{array} \right),\\ $ (250)

(pozor na pořadí matic!) což v případě, že matice $ A$, $ B$, $ C$ vzájemně komutují a pokud je $ (C-A)$ regulární matice, lze napsat přehledněji ve tvaru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2460 M^n = \left( \begin{array}{cc} A^n & B(C - A)^{-1}(C^n - A^n) \\ 0 & C^n \end{array} \right).\\ $ (251)