Cyklické vektory operátorů

Dokažte, že operátor $ f:\,{\mathbb{V}}\rightarrow{\mathbb{V}}$ má cyklický vektor právě tehdy, když pro každý prvek jeho spektra existuje právě jedna Jordanova buňka.

Věta. Cyklickým vektorem nazýváme takový vektor $ v\in{\mathbb{V}}$, že vektory $ v,f(v),\dots,f^{n-1}(v)$, kde $ n$ je $ \mathop{{\rm
dim}}\nolimits{\mathbb{V}}$, tvoří bázi $ {\mathbb{V}}$. Jde tedy o takový vektor, pro který jsou ještě i vektory $ v,f(v),\dots,f^{n-1}(v)$ lineárně nezávislé. (Vektory $ v$, $ f(v)$,...,$ f^n(v)$ již lineárně nezávislé být nemohou!)

Důkaz. Snažší je důkaz implikace $ \Rightarrow $. Existují-li totiž pro nějaký prvek $ \lambda$ spektra $ f$ dva Jordanovy bloky, uvažujme následovně.

Vzhledem k  $ {\mathbb{L}}\big(z,f(z),\ldots\big)={\mathbb{L}}\big(z,\big(f-\lambda\big)(z),\ldots\big)$ můžeme předpokládat, že platí $ \lambda=0$. Jsou-li potom $ v$$ w$ počáteční vektory příslušných dvou Jordanových řetězců $ (v, (f-\lambda)(v),\dots,$ $ (f-\lambda)^n(v))$ $ (w, (f-\lambda)(w),\dots,$ $ (f-\lambda)^m(w))$ a označíme-li symboly $ \{z_k\}$ zbylé vektory Jordanovy báze, tak je snadné nahlédnout, že v lineárním obalu vektorů $ z,f(z),f^2(z),\dots$, kde

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2463 z=\sum_{i=0}^{n} \alpha_i (f-\lambda)^i(v) + \sum_{j=0}^{m} \beta_j (f-\lambda)^j(w) + \sum_{k}^{} \gamma_k z_k$ (252)

nemohou být všechny vektory zmíněných dvou řetězců nahoře! Označme $ N=\max(n+1,m+1)$. Pak $ (f-\lambda)^i(z)\in {\mathbb{L}}(z_k)$ pro $ i\geq N$, a pokud je dimenze $ {\mathbb{L}}(z_k)$ rovna $ M$, pak je už $ \{z,(f-\lambda)(z),\ldots, (f-\lambda)^{N+M}z\}$ lineárně závislá množina. Ale $ N+M=\max(n+1,m+1)+\dim {\mathbb{L}}(z_k)< n+1+m+1+\dim
{\mathbb{L}}(z_k)=\dim V$, takže $ \{z,(f-\lambda)(z),\ldots \}$ nemůže být bází $ V$ a tedy ani $ \{z,f(z),\ldots \}$.

Nyní dokažme zajímavější implikaci ,, $ \Leftarrow$''.

Důkaz se sestává ze dvou kroků, pričemž ten druhý krok bude níže vydělen jako samostatný příklad.

Pro každé $ \lambda\in\varrho(f)$ (spektrum $ f$) označme symbolem $ v_\lambda$ počáteční vektor příslušného Jordanova řetězce $ v_\lambda,$ $ (f-\lambda J)v_\lambda,\dots,$ $ (f-\lambda J)^{m_\lambda-1}v_\lambda$, kde $ m_\lambda$ označuje násobnost $ \lambda$. Pak můžeme každý vektor $ v\in{\mathbb{V}}$ rozložit do tvaru

$\displaystyle v~= \sum_\lambda\sum_{k=0}^{m_{\lambda-1}} \alpha_{k,\lambda} (f-\lambda J)^k v_\lambda.$ (253)

Volme speciálně $ v\in{\mathbb{V}}$ tvaru

$\displaystyle v=\sum_\lambda \alpha_\lambda v_\lambda.$ (254)

Potom je pro libovolné $ m\in{\mathbb{N}}$

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2466 f^m(v) = \sum_\lambda \alpha_\lambda (f - \lambda J + \lambda J)^m v_\lambda =$ (255)

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2468 = \sum_\lambda \alpha_\lambda \sum_{l=0}^{m} {m \choose l} \lambda^{m-l} (f-\lambda J)^l v_\lambda.$ (256)

Tedy matice $ B$, v jejichž sloupcích jsou souřadnice $ n$ vektorů $ v,f(v),\dots,$ $ f^{n-1}(v)$ vůči zvolené Jordanově bazi $ \{v_\lambda,$ $ (f-\lambda J)v_\lambda,$ $ (f-\lambda
J)^2v_\lambda,\dots\}$, má v řádku odpovídajícím vektoru $ (f-\lambda
J)^k v_\lambda$ prvky

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2470 \left(0,0,\dots,{k \choose k},{k+1 \choose k}\lambda,\dots,{n-1 \choose k}\lambda^{n-1-k}\right),$ (257)

a je tedy tvořena pod sebe napsanými obdélníkovými bloky, které jsou jakoby gaussovsky zeliminované a které odpovídají jednotlivým Jordanovým blokům. Níže uvidíme, jak tato matice souvisí se známou maticí Vandermondovou.

Takže volba (267) s vesměs nenulovými vektory $ \alpha_\lambda$ dává vždy bázi $ v,f(v),\dots,$ $ f^{n-1}(v)$ prostoru $ {\mathbb{V}}$.

Obecný případ $ (0)$ $ \alpha_{i,\lambda}\neq0$, $ i>0$ pro každé $ \lambda\in\varrho(f)$ zde již vyšetřovat podrobně nebudeme a přenechávame jej čtenáři.