Zobecněný Vandermondův determinant

Jde o čtvercový determinant složený z obdélníků tvaru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2473 \left\vert \begin{array}{cccccccc} 1 ...
...ldots & 0 & k! & \ldots & n(n-1)\ldots(n-k+1)x^{n-k}\\ \end{array} \right\vert.$ (258)

Označme takovéto obdélníky -- rozměru $ (k+1)\times(n+1)$, symboly $ R(x)$. Chceme tedy spočítat determinant

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2475 \mathop{\rm det}\nolimits \left(\begin{array}{c} R(x) \\ R(y) \\ \vdots \end{array}\right)=\mathop{\rm det}\nolimits A,$ (259)

kde obdélníkové matice $ R(x)$ jsou tvaru

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2477 R(x) = \left(\begin{array}{c} r(x) \\ r'(x) \\ \vdots \\ \end{array}\right),$ (260)

a kde $ r(x)=(1,x,\dots,x^n)$.

Věta. Determinant takovéto matice

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2479 A=\left( \begin{array}{c} R(x_1)\\ R(x_2)\\ \vdots\\ \end{array} \right)$ (261)

je roven $ \mathop{\rm det}\nolimits A = \prod_{i>j} (x_i-x_j)^{m_i m_j} \prod_{i} {m_i!}$, kde $ m_i$ je tloušťka bloku $ R(x_i)$.

Řešení. Nahraďme $ k$-tou derivaci $ k$-tou diferencí:

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2481 \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k} r(x) = \lim_{\triangle\rightarrow 0} D^k r(x),$ (262)

kde

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2483 D^k r(x) = \frac{1}{k!\;\triangle^k} \sum_{l=0}^{k} (-1)^l {k~\choose l} r (x+l\triangle).$ (263)

(Připomínáme zde tento vztah $ n$-té diference a $ n$-té derivace. Nejjednodušeji se to dokáže pomocí L'Hospitalova pravidla.) Potom je

$\displaystyle \mathop{\rm det}\nolimits A~= \lim_{\triangle\rightarrow 0} \math...
...in{array}{c} R_\triangle(x_1)\\ R_\triangle(x_2)\\ \vdots\\ \end{array}\right),$ (264)

kde obdélníky $ R_\triangle (x)$ mají tvar

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2485 R_\triangle(x)= \left(\begin{array}{c} r(x)\\ Dr(x)\\ D^2r(x)\\ \vdots\\ \end{array}\right).$ (265)

Nyní použijeme vzorce pro výpočet ,,obyčejného'' Vandermondova determinantu a poté spočteme limitu $ \triangle\rightarrow 0$. Proveďte podrobně, speciálně si uvědomte, jak se vzájemně kompenzují faktoriály $ k!$ (vznikající i v limitě % latex2html id marker 87746
$ (\ref{operator_limita_determinantu})$ použitím známého vzorce pro ,,obyčejný'' Vandermondův determinant).