Výpočet odmocniny symetrické matice

Mějme zadanou nějakou symetrickou matici $ A$, třeba

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2488 A~= \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right).$ (266)

Hledejme (symetrickou) matici $ B$ takovou, aby $ B^2=A$.

Řešení $ a)$ Pro takto zadané číselné hodnoty bude asi nejjednodušší matici $ B$ uhádnout. Pokud její prvky budou celočíselné, máme zřejmě na výber pouze hodnoty $ -1$, 0, $ 1$. Píšeme-li

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2490 B = \left(\begin{array}{ccc} a~& d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \\ \end{array}\right).$ (267)

máme
$\displaystyle a^2 + d^2 + e^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1,$  
$\displaystyle e^2 + f^2 + c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1,$  
$\displaystyle d^2 + b^2 + f^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3.$ (268)

Rovnice $ d^2 + b^2 + f^2 = 3$ má jediné celočíselné řešení $ d=b=f=1$, tedy dále máme $ a=e=c=0$, takže

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>2492 B = \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right)$ (269)

je hledaným řešením.

$ b)$ Standardní postup by ovšem byl

$ \alpha)$
spočítat spektrum (zde 0, $ 1$, $ 4$) matice $ A$,
$ \beta)$
vyjádřit $ A=CDC^{-1}$, kde sloupce matice $ C$ jsou příslušné vlastní vektory,
$ \gamma)$
spočítat $ B=C\sqrt{D}C^{-1}$.
Proveďte podrobně!